- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов) презентация
Содержание
- 1. Методы численного интегрирования (нахождение определенных интегралов)
- 2. 1. Аналитический метод
- 3. Аналитический метод интегрирования не всегда может быть
- 4. Графическая интерпретация определенного интеграла Линии
- 5. 2. Численные методы 1. [a,
- 6. 1. Метод прямоугольников Отдельно взятая полоса
- 7. А. Метод левых прямоугольников Высота - значение
- 8. B. Метод правых прямоугольников Высота - значение
- 9. С. Метод средних прямоугольников Высота - значение
- 10. Блок-схема метода средних прямоугольников
- 11. 2. Метод трапеций Отдельно взятая полоса представляется
- 12. Гладкая кривая заменяется ломаной линией Интеграл рассчитывается по следующей формуле:
- 13. Блок-схема метода трапеций
- 14. 3. Метод Симпсона Гладкая функция заменяется
- 15. Гладкая кривая заменяется участками парабол
- 16. Любая парабола описывается уравнением: y=ax2+bx+c Точки (0,
- 17. Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для
- 18. Выведем формулу для расчета коэффициентов a и b:
- 19. Площадь под фигуры можно вычислить, проинтегрировав полученную
- 20. Получим:
- 21. В общем виде: Формула Симпсона
- 22. Блок-схема метода Симпсона
- 23. Замечания о погрешности численного интегрирования
- 24. Для оценки погрешности численного интегрирования сравним значения
- 26. Из таблицы видно, что погрешность зависит от
- 27. Зависимость погрешности численного интегрирования от числа разбиений интервала интегрирования
1. Аналитический метод Где F(x) – первообразная функции f(x)
Слайд 3Аналитический метод интегрирования не всегда может быть применен на практике.
Пример «неберущегося»
интеграла:
Слайд 52. Численные методы
1. [a, b] разбивается на n равных отрезков
длиной h.
2. Площадь S разбивается на n полос шириной h.
3. Полоса представляется в виде геометрической фигуры.
4. Рассчитывается площадь каждой полосы.
5. Искомый интеграл есть сумма площадей всех полос.
2. Площадь S разбивается на n полос шириной h.
3. Полоса представляется в виде геометрической фигуры.
4. Рассчитывается площадь каждой полосы.
5. Искомый интеграл есть сумма площадей всех полос.
Слайд 61. Метод прямоугольников
Отдельно взятая полоса представляется в виде прямоугольника шириной h.
ВОПРОС:
Какая величина принимается за высоту прямоугольника?
Слайд 7А. Метод левых прямоугольников
Высота - значение функции в левой точке основания
каждой полосы.
Формула расчета интеграла:
Формула расчета интеграла:
Слайд 8B. Метод правых прямоугольников
Высота - значение функции в правой точке основания
каждой полосы.
Формула расчета интеграла:
Формула расчета интеграла:
Слайд 9С. Метод средних прямоугольников
Высота - значение функции в середине основания каждой
полосы.
Формула расчета интеграла:
Формула расчета интеграла:
Слайд 112. Метод трапеций
Отдельно взятая полоса представляется в виде перевернутой трапеции высотой
h.
Основания трапеции будут равны значениям функции в левой и правой точке высоты трапеции.
Площадь трапеции:
Основания трапеции будут равны значениям функции в левой и правой точке высоты трапеции.
Площадь трапеции:
Слайд 143. Метод Симпсона
Гладкая функция заменяется участками парабол.
Через любые 3 точки
на плоскости можно провести одну и только одну параболу.
Парабола проводится через точки пересечения границ 2-х соседних полос с графиком подынтегральной функции.
Парабола проводится через точки пересечения границ 2-х соседних полос с графиком подынтегральной функции.
Слайд 15 Гладкая кривая заменяется участками парабол
Каждая парабола заменяет исходную подынтегральную
функцию сразу над двумя полосами. Следовательно, число разбиений должно быть четным !!!
Рассмотрим ситуацию с одной параболой (2-мя полосами) и выведем формулу для расчета интеграла.
Рассмотрим ситуацию с одной параболой (2-мя полосами) и выведем формулу для расчета интеграла.
Слайд 16Любая парабола описывается уравнением:
y=ax2+bx+c
Точки (0, y0), (h, y1), (2h, y2) лежат
на одной параболе, следовательно, должны удовлетворять одной и той же функции.
Число разбиений должно быть четным !!!
Слайд 17Подставляем координаты 3-х точек в уравнение для параболы, получаем систему линейных
алгебраических уравнений.
Здесь неизвестные - параметры параболы: a, b, c.
Из 1-го уравнения: y0=c.
Произведя замену, получим новую систему уравнений:
Решаем полученную СЛАУ методом Крамера:
Здесь неизвестные - параметры параболы: a, b, c.
Из 1-го уравнения: y0=c.
Произведя замену, получим новую систему уравнений:
Решаем полученную СЛАУ методом Крамера:
Слайд 19Площадь под фигуры можно вычислить, проинтегрировав полученную параболическую зависимость:
y=ax2+bx+c
Подставим в полученную
формулу значения для коэффициентов параболы a, b и c:
Слайд 20Получим:
Если число разбиений будет не 2, а 4, то формула для
вычисления интеграла будет иметь следующий вид:
Слайд 24Для оценки погрешности численного интегрирования сравним значения интеграла, рассчитанные различными численными
методами с истинным значением интеграла, рассчитанным аналитически.
Пример:
Истинное значение: S=5
Пример:
Истинное значение: S=5
Слайд 26Из таблицы видно, что погрешность зависит от метода интегрирования и от
количества разбиений интервала интегрирования.
Слайд 27Зависимость погрешности численного интегрирования от числа разбиений интервала интегрирования
