Метод Монте-Карло презентация

до появления ЭВМ метод не получил широкого развития

Методом Монте-Карло называется метод моделирования случайной величины с целью определения характеристик ее распределения:

численный метод
можно решать любые задачи, а не только вероятностные:
при непосредственной реализации стохастической модели говорят о прямом моделировании,
возможно "выдумывание" такого случайного процесса, статистические характеристики которого соответствуют некоторым характеристикам детерминированного процесса.

– анализ азартных игр – задачи с равновероятными исходами:

Вероятность орел – решка: P(о)= P(р)=1/2;
Грань игральной кости: P(г)=1/6;
Карта из колоды: P(к) =1/32;
В случае равновероятных исходов вероятность события A:

В такой системе возможны и более сложные ситуации – вероятность двух тузов в прикупе:

Общее определение вероятности по Laplace (Pierre-Simon, 1749–1827) для систем с равновероятными исходами:

A. On an experimental determinition of π. – Messeng. Math., 1873, V2. P.113:

S(A)

Определим некоторую меру события, которая пропорцианальна площади:

Частотное определение вероятности Mises Richard (1883, Львов - 1953, Бостон):

события

Задано пространство Ω элементарных событий (исходов) ω: ω ∈Ω;
Событие A является множеством ω и подмножеством Ω – существует набор правил, по которым из элементов ω можно образовывать систему подмножеств – алгебра ;
Введена мера множества события A, удовлетворяющая правилам:
1 ≥ P(A)≥0: P(Ω)=1, P()=0

функция ξ= ξ(ω), ω ∈Ω на заданном вероятностном пространстве (Ω, ,P);
Случайная величина сама является случайным событием на вероятностном пространстве (X, ,Pξ) – непосредственно заданная случайная величина;
Алгебра  есть система интервалов на некотором сегменте X;
Pξ(B)= P(ξ ∈B);
Случайная величина может быть:

моменты случайной величины:

- математическое ожидание (среднее)

Важнейшей из которых является дисперсия:

математическую теорию с физическим содержанием

Bernoulli Jacob (1654 - 1705):
ξi – индикатор события A:

математического ожидания есть среднее арифметическое

1. Неравенство Чебышева Пафнутий Львович (1821-94) в форме Bernoulli Jacob (27.12.1654-16.08.1705)

3. Математическая статистика: соотношения справедливы при N→Ґ, однако на практике приходится иметь дело с конечной выборкой случайной величины ξ1, …, ξN - статистикой случайной величины.

2. Центральная предельная теорема Moivre, Abraham de (1667-1754)-Laplace, Pierre-Simon (1749-1827)

случайной величины по статистике является несмещенной, если

Оценка является эффективной, если ее дисперсия - наименьшая:

распределением называется ее розыгрышем

Любой определенный интеграл можно рассматривать как математическое ожидание:

В соответствии с определенной статистикой его можно вычислять как среднее:

Конструктивность случайной величины – создание произвольной случайной величины из стандартной α∈[0,1] – генератор случайных чисел.

время счета одного испытания

1. По N независимым значениям α конструируются N случайных величин ξ распределенных на множестве X с плотностью вероятности p(x);

2. Производится оценка интеграла по математическому ожиданию ζ=f(ξ)/p(ξ) как среднего арифметического

3. Погрешность оценки проводится по центральной предельной теореме по дисперсии Dζ/N:

Дисперсия метода Монте-Карло зависит от выбора плотности вероятности:

p(x)>0, тогда F(x) строго монотонно возрастает на [a, b] от 0 до 1
∀α уравнение F(x)=α имеет только один корень:

Для многомерных случайных величин F(x1, …, xn)=F(x1)Ч…ЧF(xn) , и каждая координата разыгрывается независимо друг от друга:

При независимых координатах (аргументах) имеем

и оценить точность вычислений

независимых случайных величин, например, θ – зенитный угол, ϕ – азимутальный угол: F(x1, …, xn)=F(x1)⋅…⋅F(xn)