Тема: Введение. Матрицы. Определители и их свойства.
Кафедра медицинской и биологической физики
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы. Определители и их свойства (лекция № 1) презентация
Содержание
- 1. Матрицы. Определители и их свойства (лекция № 1)
- 2. План лекции: Введение. Понятие матрицы. Операции с
- 3. Введение Широкое использование математических методов в современном
- 4. Введение В современной науке возникли новые направления,
- 5. Введение Объектами исследования математики служат логические модели,
- 6. Введение Применение математических методов расширяет возможности каждого
- 7. Введение Любой психолог, как и математик, должен
- 8. Матрица это система элементов aij расположенных в
- 9. Матрица Если матрица имеет m строк и
- 10. Матрица Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, а второй – номер столбца
- 11. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из
- 12. Единичная матрица – частный случай диагональной
- 13. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей.
- 14. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой
- 15. Транспонирование матрицы Переставив в матрице
- 16. Транспонирование матрицы Например:
- 17. Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк или столбцов
- 18. Действия над матрицами Умножение матрицы на
- 19. Например:
- 20. Сложение матриц Сумма прямоугольных матриц одинакового размера равна: Например:
- 21. Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц
- 22. Найти произведение матриц:
- 23. Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими
- 24. Найти произведение матриц: И
- 25. Свойства действия умножения матриц 1.(AB)C =
- 26. Определители Пусть дана квадратная матрица второго
- 27. Определитель обозначается символом detA, Δ; числа
- 28. Свойства определителей Определитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами (транспонирование)
- 29. Свойства определителей Сумма произведений элементов любой строки
- 30. Свойства определителей Если в определители поменять местами
- 31. Свойства определителей Общий множитель элементов любой строки
- 32. Минор Минор Мij элемента аij - определитель
- 33. Пример Дана матрица
- 34. Алгебраическое дополнение Минор Мij умноженный на
- 35. Для рассмотренного примера Для второй матрицы необходимо поменять знаки у выделенных членов
- 36. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице
- 37. Обратная матрица Понятие обратной матрицы вводится
- 38. Найти определитель матрицы ІAІ. Найти алгебраические дополнения
- 39. Пример: найти обратную матрицу Находим определитель матрицы:
- 40. Тест Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m
- 41. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов
- 42. БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ
План лекции: Введение. Понятие матрицы. Операции с матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Характеристическое уравнение матриц.
Слайд 1лекция № 1 для студентов 1 курса обучающихся по специальности 030401
– Клиническая психология (очная форма обучения),
к.п.н., доцент
Шилина Наталья Георгиевна
Красноярск, 2015
Слайд 2План лекции:
Введение.
Понятие матрицы.
Операции с матрицами.
Определители, их свойства.
Обратная матрица.
Характеристическое уравнение матриц.
Слайд 3Введение
Широкое использование математических методов в современном мире требует от будущего психолога
умения применять их при работе с информацией и количественной обработке результатов исследований. Преподавание математики имеет большое значение в формировании научного мировоззрения и развитии научного мышления студентов.
Слайд 4Введение
В современной науке возникли новые направления, такие, например, как математическая лингвистика,
математическая биология, математическая экономика и т.п. Главная причина такого явления заключается в том, что математика предлагает общие, но вместе с тем очень четкие логические модели для изучения окружающей действительности на основе своего особого языка – языка чисел и символов.
Слайд 5Введение
Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания процессов, происходящих
в обществе, природе, технике, живых организмах. Математические модели дают возможность прогнозировать явления с количественной точки зрения, находить не обнаруженные ранее закономерности, определять условия, при которых возможно решение теоретических и практических задач.
Слайд 6Введение
Применение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль играет раздел
математической статистики, которая учит правильно обрабатывать информацию, оценить достоверность полученных данных, сделать прогноз на основании имеющихся наблюдений.
Слайд 7Введение
Любой психолог, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на
практике дедуктивный и индуктивный методы. Поэтому математика так важна для специалистов-медиков. Занимаясь математикой, будущий специалист формирует свое профессиональное мышление.
Слайд 8Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы
могут быть числами, функциями или иными величинами, над которыми можно производить алгебраические операции
Слайд 9Матрица
Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят о
(m × n)-матрице.
m = 4; n =3 m × n = 12
Слайд 11Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы
в правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю.
Слайд 12Единичная матрица
– частный случай диагональной матрицы, в которой все элементы,
находящиеся на главной диагонали, равны 1.
Слайд 14Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца
— столбцом.
Если все ai = a, получают скалярную матрицу.
Если все ai = a, получают скалярную матрицу.
Слайд 15
Транспонирование матрицы
Переставив в матрице строки со столбцами,получают транспонированную матрицу A’,
или AT.
Слайд 18Действия над матрицами
Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m ×
n)-матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены из элементов aij умножением на число k:
Слайд 21Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов
первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)-матрица С с элементами
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj,
i =1, ..., m, j = 1, ..., n.
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj,
i =1, ..., m, j = 1, ..., n.
Слайд 23 Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над
числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не выполняться.
Матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.
Матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.
Слайд 25Свойства действия умножения матриц
1.(AB)C = A(BC) - ассоциативность умножения
2.(kA)B =
A(kB) = k(AB)
3.
4.
3.
4.
Слайд 26Определители
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
Определителем второго порядка, соответствующим
данной матрице,
называется число: a11a22 – a12a21.
называется число: a11a22 – a12a21.
Слайд 27Определитель обозначается символом detA, Δ;
числа - a11,a12,a21a22 называются элементами определителя;
a11,a22 – образуют главную диагональ, а a12,a21 – побочную. Следовательно чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй диагонали.
Δ=
Слайд 28Свойства определителей
Определитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами
(транспонирование)
Слайд 29Свойства определителей
Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические
дополнения равна определителю матрицы.
Определитель равен 0, если все элементы какой либо его строки (столбца) равны 0
Определитель равен 0, если все элементы какой либо его строки (столбца) равны 0
Слайд 30Свойства определителей
Если в определители поменять местами две его любые строки (два
любых столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю.
Слайд 31Свойства определителей
Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак
определителя.
Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Слайд 32Минор
Минор Мij элемента аij - определитель полученный в результате вычеркивания i–й
строки и j- го столбца матрицы
Матрица миноров имеет такой размер, как и матрица А
Например:
Матрица миноров имеет такой размер, как и матрица А
Например:
Слайд 33Пример
Дана матрица Матрица
миноров имеет вид
Находим минор для первого элемента.
Оставшееся число и является минором
данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров.
По аналогии находим другие миноры
Находим минор для первого элемента.
Оставшееся число и является минором
данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров.
По аналогии находим другие миноры
Слайд 34Алгебраическое дополнение
Минор Мij умноженный на
называется алгебраическим дополнением Аij элемента аij
Слайд 36Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число,
обозначаемое и получаемое следующим образом:
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Слайд 37Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Если A
– квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Слайд 38Найти определитель матрицы ІAІ.
Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A
и составить матрицу A′ , элементами которой являются числа Aij.
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице AT, и умножить её на
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице AT, и умножить её на
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
Слайд 39Пример: найти обратную матрицу
Находим определитель матрицы: ІАІ =1·4 – 2·3 =
– 2
Находим матрицу миноров:
Алгебраическое дополнение (меняем знак у 2-х членов):
Транспонируем матрицу дополнений:
Обратная матрица:
Слайд 40Тест
Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен
1.
(m x n)
2. (m+n)
3. (m)
4. (n)
2. (m+n)
3. (m)
4. (n)
Слайд 41РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
Основная литература:
Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс,
2005, с.81-89.
Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2007.
Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.
Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2007.
Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.
