Матрицы и определители презентация

и третьего порядков, их свойства
Понятие определителя n-го порядка
Ранг матрицы
Обратная матрица
Собственные числа и собственные векторы матриц

длинны (или n столбцов одинаковой длинны). Матрица записывается в виде





или, сокращённо, , где - номер строки, - номер столбца.

составляющие матрицу, называются её элементами.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. A=B, если aij= bij.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

или вектор-строка, соответственно).

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Так, если , то .

матрица Сm×n такая, что сij = аij + bij (сij = аij – bij ), (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Сумма ( разность) матриц А и В обозначается А + В ( А – В).

Произведением матрицы Аm×n на число α называется матрица Вm×n такая, что bij = αaij и обозначается αА.
Матрица –А называется противоположной А.

Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×k называется матрица Сm×k такая, что

матрица, Е – единичная матрица того же размера.

i

k

A+B=B+A;
2. A+(B+C)=(A+B)+C;
3. A+O=A;
4. A-A=O;
5. 1∙A=A;
6. α∙(A+B)=αA+αB;
7. (α+β)∙A=αA+βA;
8. α∙(βA)=(αβ)∙A,
где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

называют число, которое ставится в соответствие данной матрице и обозначается

Определитель матрицы второго порядка

порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса)

+ –

(–1)i+j

Ai j = (–1)i+ j Mi j.

Т. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы.

Минором элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

алгебраическая сумма n!-слагаемых (n! = 1 ∙2∙…·n) вида, состоящих из n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. При этом слагаемые, у которых вторые индексы сомножителей образуют четную перестановку, берутся со знаком «+», нечетную перестановку – со знаком «–».

отличных от нуля.
Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю.
Если ранг квадратной матрицы А порядка n равен r, то n – r называют дефектом матрицы А. Если А – невырожденная (det A ≠ 0), то r = n и дефект матрицы А равен нулю.

А-1 называется обратной квадратной матрице А, если АА-1= = А-1А = Е.
Теорема. Для того, чтобы обратная матрица к А, существовала, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной.
Теорема. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

собственным вектором квадратной матрицы А, если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство
или (А - λ Е) = 0

Характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А