Линейная алгебра и аналитическая геометрия презентация

Содержание

Календарный план Учебный семестр длится до 7 июля, затем сессия – экзамен Для допуска к сессии необходимо выполнить 4 задания и набрать не менее 40 баллов

Слайд 1Московский государственный университет информационных  технологий, радиотехники и электроники (МИРЭА, МГУПИ)
ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
Линейная

алгебра и аналитическая геометрия

Михайлова Ольга Юрьевна
E-mail: mikhajlova@mirea.ru

Слайд 2Календарный план
Учебный семестр длится до 7 июля, затем сессия – экзамен
Для

допуска к сессии необходимо выполнить 4 задания и набрать не менее 40 баллов

Слайд 3Комментарии к календарному плану
Все задания выполняются на Учебном портале online-edu.mirea.ru
Тесты выполняются

в электронном виде с автоматической оценкой. Тесты проверяют усвоение базовых понятий, формул, теорем.
Задания выполняются в виде файла и прикрепляются на проверку на Учебном портале. Задания проверяются в период, указанный в календарном плане
По каждому заданию могут быть даны дополнительные вопросы и комментарии

Слайд 4Список литературы
Высшая математика для экономистов: учебник / под ред Н.Ш. Кремера

– 2-е изд. перераб. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 471 с
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М. «Дело», 2003. – 625 с.
Высшая математика для экономистов: практикум / под ред Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2010. – 479 с.
Шипачев В.С. Высшая математика. Полный курс: учебник для бакалавров/ под ред А. Тихонова. – М.: Юрайт, 2012. – 479 с.
Высшая математика в упражнениях и задачах – 7-е изд. испр. – М.: ОНИКС; Мир и образование, 2008. – 816 с.
Клименко Ю.И. высшая математика для экономистов в примерах и задачах: учебник – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Экзамен, 2006. – 734 с.

Слайд 5Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
Справочно-информационная система Гарант, Консультант.
Электронная библиотечная система

КнигаФонд [Электронный ресурс]. Электрон. дан. Режим доступа http://www.knigafund/ru/.
Библиотека Genesis [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://gen.lib.rus.ec/.
Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.exponenta.ru/.
Научная электронная библиотека [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.elibrary.ru/.

Слайд 6Темы раздела линейная алгебра
Тема 1. Система линейных уравнений общего вида. Метод

Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений.
Тема 2. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Тема 3. Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица.
Тема 4. Определители, их свойства и вычисление.
Тема 5. Правило Крамера и матричный способ решения системы линейных уравнений.

Слайд 7Темы раздела аналитическая геометрия
Тема 6. Элементы векторной алгебры.
Тема 7. Простейшие

задачи аналитической геометрии.
Тема 8. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Тема 9. Уравнения плоскости в пространстве.
Тема 10. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Слайд 8Система линейных уравнений общего вида. Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных

уравнений.

Тема 1

Слайд 9Система линейных уравнений.
Понятие системы линейных уравнений

(СЛУ), ее решения. Основная и расширенная матрицы системы.
Понятие совместной и несовместной системы, равносильные системы.
Элементарные преобразования системы, их основное свойство.
Система линейных уравнений базисного вида. Общее, частное, базисное, опорное решения СЛУ.

Слайд 10Определения.
О.1 Линейным уравнением (ЛУ) от n-переменных называется выражение вида:


или



О.2 Решением уравнения называется упорядоченный набор n вещественных чисел ,
при подстановке которых в уравнение вместо неизвестных соответственно, уравнение превращается в верное числовое равенство.

О.3 Системой линейных уравнений (СЛУ) называется совокупность ЛУ вида:








или



О.4 Решением СЛУ называется упорядоченный набор n вещественных чисел ,
являющийся решением каждого из m уравнений, входящих в систему.










Слайд 11Матрицы СЛУ.
Основная матрица




Расширенная матрица






Слайд 12Определения.
О.7 СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение,

в противном случае система называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет более одного решения.









СЛУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
О.8 Две системы линейных уравнений от одинакового числа неизвестных называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Слайд 13О.9 Элементарными преобразованиями СЛУ называются следующие преобразования:
а) перестановка местами i-го и

j-го уравнений;
б) умножение на число λ ≠ 0 обеих частей i-го уравнения;
в) прибавление к левой и правой частям i-го уравнения соответствующих частей j –го уравнения, умноженных на число λ;
г) удаление из системы нулевого уравнения:
.
Т.1 Элементарные преобразования переводят СЛУ в равносильную ей систему.


Слайд 14









Рассмотрим преобразование типа (в)

Слайд 15Определения.
О.10 Переменная в СЛУ называется базисной, если она

встречается в единственном уравнении системы и имеет коэффициент, равный 1.

Говорят, что СЛУ имеет базисный вид, если в каждом уравнении выделена базисная переменная.

В системе базисного вида переменные, не являющиеся базисными, будем называть свободными переменными.


Слайд 16









базисные
свободные
БП

Слайд 17Определения.

О.11 Общим решением СЛУ называют множество упорядоченных наборов

из n действительных чисел, в которых свободные переменные могут принимать любые действительные значения, а базисные переменные однозначно выражаются через свободные.
Частное решение СЛУ получается из общего путем придания свободным переменным конкретных действительных значений.

О.12 Частное решение, в котором свободные переменные равны 0, называют базисным.

О.13 Базисное неотрицательное решение называют опорным.


Слайд 18Метод Жордана-Гаусса решения СЛУ
Приведение системы линейных уравнений к базисному виду методом

Жордана-Гаусса. Правило прямоугольника. Формулы преобразования Жордана-Гаусса.
Алгоритм метода Жордана-Гаусса.
Анализ работы по методу Жордана-Гаусса.
Преобразование однократного замещения.
Однородные системы линейных уравнений.

Слайд 21Формулы преобразований Жордана – Гаусса:
Элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент

Элементы

разрешающего столбца заменяются нулями (кроме 1 в разрешающей строке)

Остальные элементы расширенной матрицы преобразуются по ” правилу прямоугольника”







Слайд 22Правило прямоугольника.








Слайд 23Свойства преобразований Ж-Г.
Л 2.1. Преобразования Жордана - Гаусса переводят

исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.
Л 2.2. Если в разрешающей строке стоит 0, то соответствующий ему столбец не изменится при преобразовании Жордана - Гаусса.
Л 2.3. При преобразовании Жордана - Гаусса число базисных переменных не уменьшается.
Л 2.4. Если в разрешающем столбце стоит 0, то соответствующая ему строка расширенной матрицы не меняется при преобразовании Жордана - Гаусса.

Слайд 24Алгоритм Жордана – Гаусса.
Выберем уравнение, не содержащее базисной переменной. (Иначе СЛУ

базисного вида).
Выберем в нем разрешающий элемент и сделаем шаг преобразований Жордана - Гаусса.
Преобразования проводим, пока в уравнениях без базисной переменной можно найти разрешающий элемент.
Получим два возможных исхода:
а) в каждом уравнении есть базисная переменная - тогда СЛУ приведена к базисному виду;
б) есть уравнение без базисной переменной, в котором нельзя выбрать разрешающий элемент:

Если в = 0, то это уравнение можно вычеркнуть из системы.
Если в ≠ 0, то уравнение не имеет решений, система несовместна.


Слайд 25Анализ работы по методу Жордана - Гаусса.

Слайд 26Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость

системы векторов.

Тема 2

Слайд 27Арифметическое n-мерное векторное пространство.
Действия с арифметическими векторами,

их свойства. Арифметическое n-мерное векторное пространство.
Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Основные свойства линейной зависимости.
Векторная запись системы линейных уравнений.

Слайд 28Определения
О.5.1 Арифметическим вектором размерности n называется упорядоченный набор

n вещественных чисел .

О.5.2 Суммой векторов
и
называется вектор

Произведением вектора на число называется вектор









Слайд 29Т.5.1 Выше перечисленные операции обладают

свойствами:

сложение коммутативно, т.е.

сложение ассоциативно, т.е.

существует нулевой вектор , такой, что

существует противоположный вектор , такой , что

умножение унитарно, т.е.

умножение ассоциативно, т.е.

умножение дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е.

умножение дистрибутивно относительно сложения чисел, т.е.
























Слайд 30
О.5.3 Множество V , на котором заданы операции сложения и умножения

на вещественные числа, обладающие свойствами
(1-8) теоремы 5.1. называется векторным (или линейным) пространством (над R). Элементы векторного пространства называют векторами.

Л.5.2 Для произвольных векторов справедливы равенства:




Слайд 31Определения
О.5.4 Линейной комбинацией векторов
называется выражение вида
или

в символической форме

Числа называются коэффициентами линейной комбинации.

О.5.5 Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты в этой комбинации равны 0.





Слайд 32
О.5.5 Упорядоченный набор векторов называется системой векторов.

О.5.6 Система векторов

называется линейно независимой, если нулевой вектор можно представить в виде линейной комбинации
векторов этой системы
единственным образом – лишь в виде тривиальной комбинации, т.е.

О.5.7 Система векторов называется линейно зависимой , если нулевой вектор можно представить в виде линейной комбинации
векторов системы
не единственным образом, т.е.







Слайд 33Свойства линейной независимости и зависимости
С.1 Линейная независимость (зависимость) системы векторов не

меняется при перестановке векторов.
С.2 Любая подсистема линейно независимой системы сама линейно независима.
С.3 Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
С.4 Система, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима.
С.5 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то сама система линейно зависима.
С.6 Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.
С.7 Если при добавлении к линейно независимой системе векторов какого-нибудь вектора получается линейно зависимая система, то добавленный вектор линейно выражается через остальные векторы новой системы.

Слайд 35Базис и ранг системы векторов
Базис системы векторов. Теорема о двух

базисах.
Ранг системы векторов, его свойства. Ранг матрицы.
Вычисление ранга и нахождение базиса системы векторов.
Разложение векторов, не входящих в базис, по базисным векторам.

Слайд 36Определения
О.6.1. Подсистема Т:

системы векторов
S: называется системой образующих для S, если каждый вектор системы S линейно выражается (представляется в виде линейной комбинации) через векторы системы Т.
О.6.2. Базис системы S – это система ее образующих Т, являющаяся линейно независимой системой.
Теорема о двух базисах
Т.6.1. Число векторов в любом базисе данной системы векторов одно и то же.




Слайд 37 О.6.3.Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе этой

системы.

Л.5.2. Если к базису Т системы S добавить произвольный вектор , то полученная система будет линейно зависимой.
Л.5.3. Если из базиса Т удалить какой-либо вектор, то полученная система не будет системой образующих.


Слайд 38Ранг и его свойства
С.1. Ранг системы векторов – это максимальное число

линейно независимых векторов системы.
С.2. Ранг системы векторов - это минимальное число элементов в системе образующих.
С.3. Ранг системы векторов не меняется при произвольной перестановке векторов системы.
С.4. Ранг системы векторов не меньше ранга любой ее подсистемы (свойство монотонности).
С.5. Ранг системы векторов не изменится, если к системе добавить (или удалить) произвольную линейную комбинацию векторов системы.

Слайд 39О.6.4. Рангом матрицы А мы будем называть ранг системы ее столбцов,

рассматриваемых как векторы арифметического пространства.

T.6.4. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.






Слайд 40Алгоритм вычисления ранга и нахождения базиса
Составить матрицу, записав векторы системы в

виде столбцов.
Элементарными преобразованиями (Жордана - Гаусса) привести матрицу к базисному виду.
Определить номера базисных столбцов.
Векторы с соответствующими номерами образуют базис, а их число равно рангу системы.

Слайд 41Матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица. Способы ее нахождения.
Тема 3

Слайд 42Операции над матрицами.
Матрицы. Операции над матрицами, их свойства.
Единичная матрица.

Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.
Способы нахождение обратной матрицы.
Матричные уравнения. Их решение.

Слайд 43Определения.
О.9.1 Матрицей размерности n x m называется таблица, состоящая из n

строк и m столбцов, элементами которой являются вещественные числа







Элемент матрицы, расположенный на пересечении
i-ой строки и j-го столбца матрицы, обозначается .
Множество всех матриц размером n x m будем обозначать .




Слайд 44На множестве определены линейные операции: сложение

и умножение на число.

О.9.2 Суммой матриц и называется матрица
, элементы которой вычисляются по правилу .

О.9.3 Произведением матрицы на число называется матрица
.









Слайд 45
Свойства операции сложения матриц:
С.1 Коммутативность

С.2 Ассоциативность

С.3 Существует нулевая матрица

:

С.4 существует противоположная матрица
такая, что
Свойства операции умножения на число:
С.5 Унитарность

С.6 Ассоциативность

С.7 Дистрибутивность относительно сложения матриц

С.8 Дистрибутивность относительно сложения чисел












Слайд 46О.9.4 Произведением матриц

и называется матрица
размерности k x n, в i-ой строке, j- ом столбце которой расположен элемент , вычисляемый по правилу:









=









Слайд 47
О.9.5 Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно

числу ее столбцов и равно n.
Множество квадратных матриц обозначается .
О.9.6 Квадратная матрица E порядка n называется единичной, если для любой матрицы A порядка n выполняется .







или

Л.9.1 Ранг единичной матрицы равен её порядку.


Слайд 48
О.9.7 Матрица

называется обратной к матрице , если выполняются равенства


Обратная матрица к матрице А обозначается

Т.9.2 Для квадратной матрицы А обратная матрица существует тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен ее порядку.






Слайд 49Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Расширить матрицу А справа единичной матрицей

того же порядка (A|E).
Элементарными преобразованиями строк матрицу (A|E) преобразовать к виду ( |S).
Переменой строк матрицу ( |E) преобразовать к виду (Е|В).
Матрица В равна матрице .


Базисного
вида

Базисного
вида


Слайд 50Определители, их свойства и вычисление.
Тема 4

Слайд 51Определители, их свойства и вычисление
Определители 2-го и 3-го порядков.
Понятие минора

и алгебраического дополнения.
Понятие определителя n-го порядка, его свойства и вычисление.
Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.

Слайд 52Определения.
О.11.1 Определителем матрицы 2-го порядка называется число вычисляемое по правилу



О.11.2

Определителем матрицы 3 -го порядка называется число определяемое по правилу






Слайд 53
О.11.3 Минором , дополнительным к элементу

называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.





О.11.4 Алгебраическим дополнением к элементу называется дополнительный минор, взятый со знаком :












i

j

Слайд 54
О.11.5 Определителем матрицы порядка n называется число, определенное по правилу:























Слайд 55Свойства определителей
С.1 Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.
С.2 Если матрица содержит

нулевую строку, то определитель равен 0.
С.3 При перестановке двух соседних строк определитель меняет знак на противоположный.
С.4 Если матрица содержит две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.
С.5 Если все элементы строки матрицы умножить на число k, то и определитель умножится на k.
С.6 Если в матрице все элементы некоторой строки представляют собой суммы двух чисел, то определитель матрицы может быть представлен как сумма двух определителей, соответствующая строка которых содержит 1 и 2 слагаемые, остальные строки, как в исходном определителе.
С.7 Если к строке матрицы прибавить другую строку матрицы умноженную на число, то определитель не изменится.
С.8 Определитель единичной матрицы равен 1.
С.9 Величина определителя не изменяется при преобразованиях Жордана – Гаусса с разрешающим элементом 1.

Слайд 56Алгоритм вычисления определителя n-го порядка с помощью преобразований Жордана – Гаусса.
Вынесем

из i-ой строки множитель за знак определителя.
Сделаем преобразование Ж-Г с разрешающим элементом 1, полученным в i-ой строке, j-ом столбце.
Исходный определитель равен произведению на алгебраическое дополнение преобразованного определителя.
Повторим п.1-3 для преобразованного определителя, пока его порядок не станет равен 2 или не появится нулевая строка.






Слайд 57
Л.12.1 Сумма произведений всех элементов строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические

дополнения к соответствующим элементам другой строки (другого столбца) равна нулю.



или



Слайд 58Алгоритм вычисления с помощью алгебраических дополнений.
Вычислим определитель исходной

матрицы :
если , то для А не существует;
если , то
Построим матрицу , заменив каждый элемент матрицы А его алгебраическим дополнением.
Транспонируя матрицу , получим матрицу
Умножим матрицу на число
, тем самым получим
матрицу, обратную к А.




















Слайд 59Правило Крамера и матричный способ решения системы линейных уравнений.
Тема 5

Слайд 60Различные способы решения квадратных СЛУ
Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.

Матричная форма записи системы линейных уравнений и матричный способ решения системы линейных уравнений.

Слайд 61




Найдем определитель матрицы системы:
Правило Крамера решения квадратных СЛУ

Слайд 62Пусть ΔJ – определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j–го

столбца столбцом свободных членов:

Тогда, если , то СЛУ имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

Слайд 63Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ решения.








Слайд 64Тогда решением матричного уравнения будет матрица-столбец Х:
Проверка:

Слайд 65Темы раздела аналитическая геометрия
Тема 6. Элементы векторной алгебры.
Тема 7. Простейшие

задачи аналитической геометрии.
Тема 8. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Тема 9. Уравнения плоскости в пространстве.
Тема 10. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Слайд 66Элементы векторной алгебры.
Тема 6

Слайд 67Элементы векторной алгебры.
Линейные операции над геометрическими векторами.
Система координат на плоскости

и в пространстве. Координаты точки и вектора. Условие коллинеарности двух векторов, компланарности трех векторов.
Декартова система координат. Скалярное произведение и его свойства. Скалярное произведение в координатах. Угол между векторами. Длина отрезка.

Слайд 68Простейшие задачи аналитической геометрии.
Тема 7

Слайд 69Простейшие задачи аналитической геометрии в декартовой системе координат
Координаты вектора

через координаты его концов.
Отрезок. Деление отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение в координатах. Угол между векторами.
Длина отрезка.
Условия коллинеарности и перпендикулярности 2 векторов, компланарности 3 векторов.

Слайд 70Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Тема 8

Слайд 71Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
Уравнение прямой по точке

и направляющему вектору (на плоскости и в пространстве).
Уравнение прямой по двум точкам.
Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
Общее уравнение прямой на плоскости. Задание полуплоскости.
Взаимное расположение прямых на плоскости.

Слайд 72Пусть прямая проходит через точку
параллельно вектору
Этот вектор называется направляющим вектором

прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Слайд 73и рассмотрим вектор
Выберем на прямой произвольную точку
Уравнения прямой могут быть

получены из условия коллинеарности этого вектора и направляющего вектора прямой:

канонические уравнения прямой

Слайд 74Пусть прямая проходит через две точки
Выберем на прямой произвольную точку
Уравнения

прямой по двум точкам

уравнения прямой, проходящей через две точки

Слайд 75Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
Выберем на плоскости

произвольную точку
Тогда и
Тогда скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:

Распишем его в координатах:

Слайд 76уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору

Слайд 77Уравнения плоскости в пространстве.
Тема 9

Слайд 78Уравнения плоскости в пространстве.
Уравнение плоскости по точке и двум направляющим

векторам.
Уравнение плоскости по 3-м точкам.
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Общее уравнение плоскости. Линейное неравенство с тремя переменными.

Слайд 79Пусть плоскость проходит через точку
параллельно векторам

и

Возьмем точку на плоскости и рассмотрим вектор

Уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам

Уравнение плоскости может быть получено из условия компланарности этого вектора и двух направляющих векторов плоскости:

Слайд 80

уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельно двум векторам

Слайд 81Пусть задана плоскость, проходящая через три точки:
Тогда уравнение этой плоскости можно

записать в виде равенства нулю определителя:

Уравнение плоскости по трем точкам

уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельно двум векторам

Слайд 82

Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.

Слайд 83Пусть плоскость Р, проходит через заданную точку
и перпендикулярна вектору
Этот вектор называется

нормальным вектором плоскости Р.

Выберем на плоскости произвольную точку

Тогда

Тогда скалярное произведение этих векторов
должно быть равно нулю:

Распишем его в координатах:

и

Слайд 84уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданному вектору

Слайд 85Раскроем скобки в предыдущем уравнении:
Обозначим:
Общее уравнение плоскости
общее уравнение плоскости

Слайд 86Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Тема 10

Слайд 87Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Взаимное расположение

прямой и плоскости.
Взаимное расположение плоскостей пространства.
Различные уравнения прямой и плоскости.

Слайд 88Пусть заданы две прямые
Острый угол между этими прямыми находится из скалярного

произведения векторов

угол между прямыми в пространстве

Слайд 89условия параллельности прямых
условия перпендикулярности прямых

Слайд 90Пусть прямая задана уравнением:
И пусть плоскость

:


Взаимное расположение прямой и плоскости

Тогда направляющий вектор прямой

нормальный вектор плоскости

точка принадлежащая прямой

Слайд 91Возможные случаи ориентации прямой и плоскости:
Если прямая параллельна плоскости, то

Если прямая

лежит в плоскости, то и


Прямая пересекает плоскость в одной точке, тогда

Если прямая перпендикулярна плоскости, то


Слайд 92Календарный план
Учебный семестр длится до 7 июля, затем сессия – экзамен
Для

допуска к сессии необходимо выполнить 4 задания и набрать не менее 40 баллов

Слайд 93Желаю удачи!

Похожие презентации

ispolzovanie igrovogo zanimatelnogo materiala v rabote s detmi 11 238
Изменение величин. (6 класс) 304
Решение уравнений 893
Построение графика квадратичной функции. (8 класс) 765
Таблица умножения и деления на 3 247
4 класс Работа с многозначными числами. Порядок выполнения действий презентация к уроку по математике (4 класс) 723

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика