ЛА-УП-Л4 презентация

Кронекера-Капелли
Определение и примеры собственных чисел и столбцов матрицы.
Характеристический многочлен матрицы и его свойства.
Общий план решения задачи о собственных числах и собственных столбцах матрицы.

k - любое целое число, .
Выберем в матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

целое число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля,
а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1) вообще нет.

Примеры:

Замечание: очевидно, что

матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями.

Теорема (об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований):
если , то rgA = rgB

а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.
Таким образом, определение ранга матрицы можно сформулировать так:
рангом матрицы называется порядок ее базисного минора.
Замечание. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы по определению полагают равным нулю.

и ,
т.е. ранг матрицы не изменяется при умножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к трапециевидному виду, т.е. такому виду, когда все элементы
при равны нулю и все строки с номерами i > r являются нулевыми.

Тогда rgA = r

элементарных преобразований. Пример 1

в матрице найден минор M k-го порядка, отличный от нуля. Рассматривают те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M. Если все они равны нулю, то rgA = k.

В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

- отличен от нуля.

Оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3 , равны нулю:

Метод окаймляющих миноров. Пример 2

тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы:

Теорема Кронекера-Капелли

, СЛУ несовместна

Пример

Исследовать совместность СЛУ

При , СЛУ совместна

n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .
Тогда:
1. если r = n , то система имеет единственное решение;
2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

называется собственным вектором (столбцом) матрицы А, соответствующим собственному числу .

Собственным числом (значением) квадратной матрицы А порядка n называется такое число
, для которого выполняется следующее условие:

–

отвечающий ему собственный вектор матрицы

Пример

Вычислим AX и 5X :

многочлен матрицы. Определение

- собственное число A ;
2. - собственный вектор A, соответству-ющий , X – решение однородной СЛУ

Следствие.
У матрицы размера nxn не может быть более n различных собственных чисел.

Теорема

.

1. Составить характеристический многочлен

3. Для каждого собственного числа ti определить собственный вектор Xi, решив однородную СЛУ

Общий план решения задачи о собственных числах и собственных столбцах матрицы

φ(t) не имеет действительных корней.

Матрица A не имеет собственных чисел и собственных
столбцов.

многочлен

2. Найдем корни характеристического уравнения