- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола презентация
Содержание
- 1. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола
- 2. Общее уравнение кривой второго порядка К кривым
- 3. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма
- 4. Эллипс Каноническое уравнение эллипса
- 5. Эллипс где a
- 6. Эллипс Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса.
- 7. Эллипс По определению эллипса r1
- 8. Эллипс Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
- 9. Решение
- 10. Эллипс Пример 2.
- 11. Решение Подставляем и вычисляем:
- 12. Эллипс Пример 3. Составить каноническое уравнение
- 13. Решение
- 14. Эллипс Пример 4. Определить фокусы эллипса,
- 15. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
- 16. Гипербола Каноническое уравнение гиперболы
- 17. Гипербола где a > 0, b
- 18. Гипербола С осью OY гипербола не
- 19. Гипербола Прямые ay − bx =
- 20. Гипербола
- 21. Гипербола Пример 1. Составить каноническое уравнение
- 22. Гипербола Точки пересечения гиперболы с
- 23. Гипербола Пример 2. Составить каноническое уравнение
- 24. Гипербола
- 25. Гипербола Пример 3. Составить каноническое уравнение
- 26. Гипербола
- 27. Гипербола Характерной особенностью гиперболы является
- 28. Парабола F M(x; y) d r
- 29. Парабола Параболой называется множество всех
- 30. Парабола Фокус параболы имеет координаты
- 31. Парабола
- 32. Парабола Пример 1. Определить координаты
- 33. Преобразование общего уравнения к каноническому виду Общее
Общее уравнение кривой второго порядка К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y: Общее уравнение кривой
Слайд 2Общее уравнение кривой второго порядка
К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным
случаем которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Общее уравнение кривой второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Слайд 3Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых
до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, а середину отрезка F1F2 – центром эллипса.
F1
F2
-c
c
M(x; y)
r1
r2
Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F1 F2]
Слайд 5Эллипс
где a > 0 , b > 0,
a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса
Слайд 6Эллипс
Отношение b/a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем
сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Слайд 7Эллипс
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1
и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.
Слайд 10Эллипс
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние
между фокусами равно 8 и большая ось равна 10.
Решение. Если большая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5, если расстояние между фокусами равно 8, то число c равно 4.
Решение. Если большая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5, если расстояние между фокусами равно 8, то число c равно 4.
Слайд 12Эллипс
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая ось
равна 26 и эксцентриситет
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, большая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, большая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
Слайд 14Эллипс
Пример 4. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение.
Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Получаем фокусы эллипса:
Слайд 15Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых
до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, а середину отрезка F1F2 – центром гиперболы.
F1
F2
-c
c
M(x; y)
r1
r2
Слайд 17Гипербола
где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.
Система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.
Слайд 18Гипербола
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b
называются полуосями гиперболы.
Слайд 19Гипербола
Прямые ay − bx = 0 и ay + bx
= 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперболы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).
Слайд 21Гипербола
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось
a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравнения гиперболы и получаем:
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравнения гиперболы и получаем:
Слайд 22Гипербола
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е.
с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0).
Точки и , где
называются фокусами гиперболы .
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Точки и , где
называются фокусами гиперболы .
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Слайд 23Гипербола
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами
равно 10 и действительная ось равна 8.
Решение. Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c равно 5. Для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Решение. Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c равно 5. Для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Слайд 25Гипербола
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось
равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Действительная полуось a = 24. А эксцентриситет - это пропорция и так как a = 24, то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26. Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
Решение. Действительная полуось a = 24. А эксцентриситет - это пропорция и так как a = 24, то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26. Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
Слайд 27Гипербола
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот - прямых, к
которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра. Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами гиперболы
Прямые, определяемые уравнениями
называются директрисами гиперболы
Слайд 29Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из
которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
, где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
, где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.
Слайд 30Парабола
Фокус параболы имеет координаты
Директриса параболы определяется уравнением
Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .
Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Слайд 32Парабола
Пример 1. Определить координаты фокуса параболы
Решение.
Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы.
Находим p:
Находим p:
Слайд 33Преобразование общего уравнения к каноническому виду
Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если
2Bxy=0:
Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:
