Корреляционная функция, коэффициент корреляции. Спектры презентация

с одномерным случаем вводят понятие двумерной плотности распределения вероятности,

описывающей связь двух значений X(t1) и X (t2) в произвольные моменты времени t1 и t2. С помощью двумерной плотности распределения вероятности можно определить корреляционную функцию, которая является вторым смешанным центральным моментом:

которая называется коэффициентом корреляции:

Если коэффициент корреляции равен 1, это означает линейную
зависимость случайных величин. Если они независимы, он
равен нулю.
Время затухания или время корреляции определяется как

Ограниченность коэффициента корреляции


Условие, при котором коэффициент корреляции равен нулю:

Это означает равенство

как при этом вероятность их совместного существления равна произведению вероятностей каждого из них.
Итак, если x и y и независимы, их коэффициент корреляции равен 0. Обратное утверждение неверно: равенство коэффициента корреляции нулю еще не означает независимости событий, поскольку зависимость может проявиться в моментах более высоких порядков. Равенство коэффициента корреляции нулю означает некоррелированность случайных величин x и y.

При нелинейной зависимости R отличается от единицы и в указанных пределах (-1,1) может принимать любые значения. Для коэффициента корреляции при

до нуля.
Время корреляции определяется по уровню и дает ориентировочное представление о том, на каком временном интервале в среднем имеет место коррелированность случайного процесса. При меньшем значении радиуса корреляции считают, что корреляция между случайными величинами пренебрежимо мала.

представление о том, на каком временном интервале в среднем имеет место коррелированность случайного процесса. При меньшем значении радиуса корреляции считают, что корреляция между случайными величинами пренебрежимо мала.

значения статистической величины от ее предыдущего значения является коэффициент автокорреляции. Можно рассматривать величины x(t) и x(t’) как два различных, но связанных между собой процесса. Коэффициент корреляции определяет значение

в двух токах.
Это выражение дает связь между корреляционной и структурной функциями и показывает, что для стационарного процесса возможно использование как той, так и другой.

стационарного процесса получаем еще одну формулу, связывающую корреляционную и структурную функции:.

распределения вероятности и, следовательно, среднее значение и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а двумерная плотность распределения вероятности и корреляционная функция зависят только от разности временных аргументов.
В узком смысле под стационарным понимается процесс, ни одна статистическая характеристика которого не зависит от времени. В широком смысле условие стационарности требует независимости от времени первого и второго моментов. Все строго стационарные процессы – стационарны и в широком смысле, но не все процессы, стационарные в широком смысле, строго стационарны.
Процессы, для которых среднее по совокупности реализаций совпадает со средним по времени при интервале усреднения


, называются эргодическими.
Для эргодического процесса усреднение по ансамблю может быть заменено усреднением во времени.

величины х по времени усредним ее по совокупности:


Рассмотрим различие между средним по времени и средним по совокупности. Мерой этого различия является дисперсия


Если при мы имеем дело с эргодическим процессом.

процесса.
Эргодические процессы составляют подкласс стационарных процессов. Так что не все стационарные процессы эргодичны.
Стационарный процесс будет эргодическим, если временное среднее и корреляционная функция будут одинаковыми для всех реализаций процесса.
Для эргодичности гауссовского случайного процесса достаточно, чтобы он был стационарным, а его корреляционная функция удовлетворяла требованиям:

произведения значений двух процессов, взятых в разные моменты времени:


Вычисляются они по формулам:

являются четными относительно сдвига по времени.
2. Взаимная корреляционная функция не обязательно должна иметь максимум при =0.
3. Если два процесса статистически независимы,

Для комплексных случайных процессов особенность состоит в том, что при усреднении произведения значений процессов один из сомножителей берется комплексно сопряженным:

выражением:


Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса связаны между собой парой преобразований Фурье:
,

плотность мощности – вещественная функция частоты.
3.
2. Спектральная плотность мощности – вещественная функция частоты.
3. Неотрицательная функция частоты.
Взаимная спектральная плотность для стационарных случайных процессов определяется в виде:

части – четные функции частоты.
3. Мнимые части – нечетные функции частоты.
Спектральная плотность суммы двух некоррелированных процессов равна сумме спектральных плотностей процессов, образующих сумму.

всех частотах, бесконечную дисперсию и равный нулю интервал корреляции для всех значений частоты
Корреляционная функция белого шума имеет вид:

Белый шум является моделью абсолютно случайного процесса, когда значения случайного процесса в любые два несовпадающих, но сколь угодно близких момента времени статистически независимы, а интегральная ширина энергетического спектра бесконечно велика. Это физически нереализуемая математическая абстракция. Многие процессы в рассматриваемом на практике интервале частот имеют спектр, очень близкий к равномерному. В этом случае их можно аппроксимировать белым шумом.

передачи информации используются различные методы. Наиболее часто применяются методы разнесенного приёма. При этом возможны разные способы разнесения. Под пространственно-разнесенным приемом обычно понимают приём одной и той же информации по разным каналам связи, что достигается передачей с помощью антенн, разнесённых в пространстве. Применяется передача сигнала на нескольких частотах, разнесение по поляризации, времени и так далее, а также различные модификации указанных схем.

одинарного приёма определяется числом k некоррелированных значений уровня помехи на пространственной базе с размещенными на ней приемными элементами. В случае, когда приёмные элементы разнесены на расстояние, превышающее радиус пространственной корреляции флуктуаций сигнала, помехоустойчивость системы увеличивается в k раз по сравнению со случаем одинарного приёма. Если разнесение приемных элементов оказывается меньше, чем радиус пространственной корреляции, помехоустойчивость системы возрастёт только в k /(1+ b) раз, где величина b определяется уровнем корреляции в соответствующих пространственно-разнесенных точках.

временному радиусу корреляции флуктуирующей составляющей сигнала.

Такой сравнительно простой анализ указывает на важность определения временных и пространственных радиусов корреляции, а в более общих случаях – и соответствующих коэффициентов корреляции флуктуаций для обеспечения надёжности связи.

результатом любой задачи о распространении сигнала по произвольному каналу связи является установление функциональной зависимости между сигналами на входе и выходе канала. Случай прохождения сигнала через среду со случайными неоднородностями можно считать частным вопросом этой общей проблемы. Поэтому возникает задача определения функции передачи такой системы. Только знание этой величины позволит приступить к рассмотрению проблемы оптимизации передачи информации по каналу. Экспериментальные исследования дают сведения о статистических свойствах принимаемого сигнала. Полагая свойства излученного поля известными, нужно поставить задачу определения свойств функции передачи среды. Знание статистических характеристик этой функции сделает реализуемой проблему расчета оптимального способа передачи сообщений.

передачи целесообразно положить в основу предварительных расчетов, направленных на обоснование методов трактовки экспериментальных результатов, полученных при регистрации распространяющихся на различных приземных трассах сигналов
ультракоротковолнового и оптического диапазонов.

входе атмосферного канала имеется сигнал , а на выходе – сигнал .
Комплексную функцию передачи канала запишем в виде:


Пусть

Будем считать и H(iω,t) стационарными случайными функциями.

общей теории передачи сигнала через канал связи, сигнал на выходе такого канала запишется в виде следующего аналитического выражения:



- фурье-трансформация сигнала

на входе канала

сигнала








Проведем усреднение по случайным отклонениям входного сигнала.

,

для фурье-трансформаций получим:






Тогда


- корреляционная функция на входе канала.

Винера-Хинчина,



Учитывая это выражение, записываем:

выведенное соотношение по временным изменениям функции передачи системы:

функции корреляции, находим:


Для узкополосных сигналов, когда можно полагать независимость функции передачи от частоты (это соответствует анализу гладких замираний), получим:


Интеграл в этом выражении, согласно теореме Винера-Хинчина, представляет функцию корреляции излученного сигнала.

Отсюда следует, что

Если учесть, что для анализа используются постоянные (в пределах стабильности генераторов) сигналы, излучаемые в атмосферу,

Таким образом, в рамках принятых предположений функция корреляции сигнала в точке приема определяет функцию корреляции функции передачи системы и экспериментально полученные корреляционные или структурные функции сигнала, прошедшего трассу со случайными неоднородностями, могут служить статистическими характеристиками данной трассы.