Исполнитель: к. ф.-м. наук доцент
Н.Г. Новикова
ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ
имени С.М. Кирова
Кафедра биологической и медицинской физики
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Интегрирование функций презентация
Содержание
- 1. Интегрирование функций
- 2. При дифференцировании мы искали производную по заданной
- 3.
- 4. Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для
- 5. Первообразная для заданной функции f(x) существует только,
- 6. Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная
- 7. Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;
- 8. Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.
- 9. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
- 10. Придавая постоянной величине С различные значения С1,
- 11. Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.
- 12. Пример семейства интегральных кривых
- 13. Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить
- 14. Таблица основных неопределенных интегралов
- 18. 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. 2. Свойства неопределенных интегралов
- 19. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
- 20. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:
- 21. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
- 22. 5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
- 23. Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств. 3. Непосредственное интегрирование
- 24. Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции
- 26. Таких методов два: а) метод
- 27. Метод основан на замене переменной в неопределенном
- 28. Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx Этот интеграл
- 29. Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b]
- 31. Из точек деления восставим перпендикуляры
- 32. На каждом из отрезков [x0, x1], [x1,
- 33. Составим сумму произведений значений функции y=f (x)
- 34. или, в сокращенной записи
- 35. где символ означает суммирование по
- 36. Сумма In называется
- 37. Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы
- 39. Функция f(x) – подынтегральная функция, x
- 40. Неопределенный интеграл – это семейство первообразных
- 41. Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции,
- 43. 5. Свойства определенного интеграла
- 44.
- 45.
- 46. Формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.
- 47.
- 48. 6. Основные методы вычисления определенных интегралов
- 49.
- 50. Обратите внимание: 1) при замене переменной
- 51. б) Метод интегрирования по частям
При дифференцировании мы искали производную по заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x). Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x), найти такую функцию F(x),
Слайд 1ЛЕКЦИЯ № 2
по дисциплине «Физика, математика»
на тему: «Интегрирование функций»
для курсантов I
курса ФПВ, ФПиУГВ и спецфакультета
Исполнитель: к. ф.-м. наук доцент
Н.Г. Новикова
Исполнитель: к. ф.-м. наук доцент
Н.Г. Новикова
Слайд 2При дифференцировании мы искали производную по заданной функции y=F(x), то есть
нужно было найти f(x)=F’(x).
Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x), найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).
Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x), найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).
1. Понятие неопределенного интеграла
Слайд 4Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале
(a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b).
Например, для f(x) =x2 первообразная
F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2.
Для f(x) =cosx первообразной будет
F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.
Например, для f(x) =x2 первообразная
F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2.
Для f(x) =cosx первообразной будет
F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.
Слайд 5Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна
на (a,b).
Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они только постоянным слагаемым.
Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .
Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они только постоянным слагаемым.
Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .
Слайд 6Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество
первообразных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и
обозначается символом
т.е.
обозначается символом
т.е.
Слайд 7
Знак ∫ - знак неопределенного интеграла;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
f(x) – подынтегральная
функция.
Слайд 8Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.
Слайд 9Интегрирование – действие, обратное дифференцированию.
Его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование
однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.
Слайд 10Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные
функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной.
Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.
Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.
Слайд 11
Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.
Слайд 13Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов
от основных элементарных функций.
Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования.
Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.
Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования.
Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.
Слайд 181) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. Свойства неопределенных интегралов
Слайд 203) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с
произвольной постоянной:
Слайд 225) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов
от этих функций:
Слайд 23Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.
3. Непосредственное
интегрирование
Слайд 24Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в комбинацию более простых
функций с использованием известных формул.
Метод разложения
Слайд 26
Таких методов два:
а) метод замены переменной;
б) интегрирование по частям.
3. Основные методы
интегрирования
Слайд 27Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести
его нахождение к нахождению такого неопределенного интеграла, который может быть найден методом разложения.
Другими словами, необходимо получить:
∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)
Другими словами, необходимо получить:
∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)
Метод замены переменной
Слайд 28Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx
Этот интеграл не является табличным.
Произведем замену: y
= 2x
Тогда dy=(y)’dx=2dx
dx = dy/2
Соответственно:
Тогда dy=(y)’dx=2dx
dx = dy/2
Соответственно:
Слайд 29Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x).
Разделим отрезок [a,b]
на n частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A0, A1, A2, …, An-2, An-1, An в порядке возрастания следующим образом:
x0=a, x1, x2, x3, …, xn-2, xn-1, xn=b
x0=a, x1, x2, x3, …, xn-2, xn-1, xn=b
4. Определенный интеграл
Слайд 31
Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения
с графиком функции в точках, соответственно:
B0, B1, B2, …, Bn-2, Bn-1, Bn
B0, B1, B2, …, Bn-2, Bn-1, Bn
Слайд 32На каждом из отрезков [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], …,
[xn-2, xn-1], [xn-1, xn] (эти отрезки в отличие от всего отрезка [a,b] называют частичными отрезками) выберем по одной точке (необязательно в центре отрезка), обозначив их, соответственно, с1, с2, с3, …, сn-2, сn-1, сn.
Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.
Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.
Слайд 33Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках ci ,
где индекс i – номер частичного отрезка (1, 2, 3, …, n), на величины Δxi=xi-xi-1 соответствующих отрезков:
Слайд 35
где символ
означает суммирование по индексу i , последовательно изменяющемуся от 1
до n включительно.
Слайд 37Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке
[a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом:
Слайд 39Функция f(x) – подынтегральная функция,
x – переменная интегрирования.
Числа a и b
(границы отрезка [a,b]) называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.
Слайд 40
Неопределенный интеграл – это семейство первообразных функций;
Определенный интеграл – число!
Основное отличие
определенного интеграла от неопределенного:
Слайд 41
Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, т.е. плоской фигуры, ограниченной сверху
графиком непрерывной функции у= f(x) , снизу – осью абсцисс, слева – прямой линией x=a, справа – прямой линией x=b.
Геометрический смысл определенного интеграла:
Слайд 50Обратите внимание:
1) при замене переменной соответствующим образом изменяют и пределы
интегрирования (cos 0 = 1; cos (π/2) = 0);
2) если замена переменной и пределов интегрирования выполнена правильно, то нет необходимости возвращаться к исходной переменной x (нам необходимо получить число, которое будет одинаковым в обоих случаях).
2) если замена переменной и пределов интегрирования выполнена правильно, то нет необходимости возвращаться к исходной переменной x (нам необходимо получить число, которое будет одинаковым в обоих случаях).
