- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Функции нескольких переменных презентация
Содержание
- 1. Функции нескольких переменных
- 2. Будем предполагать, что в любом
- 3. Совокупность всех точек n-мерного пространства,
- 4. Совокупность всех точек, до которых
- 5. Точка называется внутренней точкой множества,
- 6. Множество, содержащее все свои предельные
- 7. Пусть каждому натуральному числу поставлена
- 8. Теорема 1. Для того, чтобы
- 9. Функции нескольких переменных Большинство природных
- 10. Если некоторому набору упорядоченных величин
- 11. Задача Найти область определения и область значений функции
- 12. Задача Решение: О.О.Ф.: Получается круг радиуса 2. О.З.Ф.:
- 13. Функции нескольких переменных Функцию двух
- 14. Функции нескольких переменных Построение графика
- 15. Число А называется пределом функции
- 16. Функция
- 17. Функции нескольких переменных Теорема 2.
- 18. Пусть функция определена в некоторой
- 19. Функции нескольких переменных
- 20. Функции нескольких переменных При нахождении
- 21. Задача Пример. Найти частные производные функции
- 22. Задача Решение:
- 23. Функция
- 24. При этом
- 25. Задача Пример. Найти дифференциал той же функции.
- 26. Функции нескольких переменных Теорема 5.
- 27. Функции нескольких переменных Теорема 7.
- 28. Функции нескольких переменных Рассмотрим производную функции одной переменной, заданной неявно
- 29. Задача Пример. Найти производную функции
- 30. Задача Решение: Составим функцию f
- 31. Задача Пример. Найти частные производные функции
- 32. Задача Решение: Пусть
- 33. Задача Ответ:
- 34. Задача Ответ (продолжение):
- 35. Функции нескольких переменных Частные производные первого
- 36. Функции нескольких переменных Таким же
- 37. Задача Пример. Найти частные производные второго порядка функции
- 38. Задача Решение.
- 39. Функции нескольких переменных Смешанные частные
- 40. Функции нескольких переменных Рассмотрим функцию
- 41. Функции нескольких переменных
- 42. Функции нескольких переменных Косинусы углов,
- 43. Производной функции z в точке
- 44. Функции нескольких переменных Если функция
- 45. Функции нескольких переменных Градиентом функции z называется вектор, имеющий координаты
- 46. Задача Пример. Найти производную функции
- 47. Задача Решение. Вектором является вектор
- 48. Точка
- 49. Функции нескольких переменных Теорема (необходимое
- 50. Функции нескольких переменных Теорема (достаточное
- 51. Функции нескольких переменных Если этот
- 52. Задача Пример. Исследовать нам экстремум
- 53. Задача Решение. Сначала найдём критические
- 54. Задача Найдём частные производные второго
- 55. Задача В точке N: А=6,
- 56. Функции нескольких переменных Может оказаться,
- 57. Функции нескольких переменных В простейших
- 58. Функции нескольких переменных Где:
- 59. Функции нескольких переменных Пользуясь необходимым
- 60. Функции нескольких переменных Чтобы выяснить
- 61. Задача Пример. Исследовать на экстремум функцию
- 62. Задача Решение.
- 63. Задача Вычислим значение определителя в критических точках:
- 64. Задача
- 65. Функции нескольких переменных Максимальное
- 66. Задача Пример. Найти наибольшее и
- 67. Задача Решение: Найдём критические точки функции
- 68. Задача Изобразим заданную область и
- 69. Задача Найдём теперь наибольшее и
- 70. Задача Сравнивая все полученные результаты
- 71. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Конец темы
Будем предполагать, что в любом многомерном пространстве можно задать прямоугольную систему координат. Точкой А n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. Расстояние между
Слайд 1Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №7.
Функции нескольких переменных
Слайд 2 Будем предполагать, что в любом многомерном пространстве можно задать
прямоугольную систему координат.
Точкой А n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел.
Расстояние между двумя точками можно вычислять как длину вектора.
Точкой А n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел.
Расстояние между двумя точками можно вычислять как длину вектора.
Слайд 3 Совокупность всех точек n-мерного пространства, в котором определено расстояние,
согласно последней формуле, называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством и обозначается
Слайд 4 Совокупность всех точек, до которых расстояние от точки А
не превысит некоторого малого числа называется
- окрестностью точки А.
Такая окрестность представляет собой в общем случае шар с центром в точке А.
- окрестностью точки А.
Такая окрестность представляет собой в общем случае шар с центром в точке А.
Слайд 5 Точка называется внутренней точкой множества, если найдётся такая её
окрестность, которая будет содержаться в этом множестве.
Множество, каждая точка которого является внутренней, называется открытым множеством.
Точка А называется предельной точкой множества Х, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку множества Х, отличную от точки А.
Множество, каждая точка которого является внутренней, называется открытым множеством.
Точка А называется предельной точкой множества Х, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку множества Х, отличную от точки А.
Слайд 6 Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.
Множество называется ограниченным, если существует n-мерный шар, внутри которого содержатся все точки данного множества.
Слайд 7 Пусть каждому натуральному числу поставлена в соответствие некоторая точка
пространства. Такое пронумерованное множество называется последовательностью точек пространства.
Точку А называют пределом последовательности, если расстояние между этой точкой и точками последовательности уменьшается с увеличением номера члена последовательности и стремится к нулю.
Точку А называют пределом последовательности, если расстояние между этой точкой и точками последовательности уменьшается с увеличением номера члена последовательности и стремится к нулю.
Слайд 8 Теорема 1. Для того, чтобы последовательность
сходилась к точке
необходимо и достаточно, чтобы
Слайд 9Функции нескольких переменных
Большинство природных и экономических процессов зависят не
от одного фактора (функция одной переменной), а от множества факторов. В этой связи возникла необходимость в рассмотрении функций нескольких переменных. (Например величина общественного продукта зависит от затраты труда и объёма производственных фондов).
Слайд 10 Если некоторому набору упорядоченных величин
из множества Х поставить в соответствие одно определённое значение переменной z, то говорят, что на множестве Х задана функция n переменных
Множество Х является О.О.Ф.
Для удобства будем рассматривать функцию двух переменных
Множество Х является О.О.Ф.
Для удобства будем рассматривать функцию двух переменных
Слайд 13Функции нескольких переменных
Функцию двух переменных можно изобразить графически в
трёхмерной прямоугольной системе координат в виде поверхности.
В предыдущем примере графиком функции является верхняя полусфера радиуса 2.
В предыдущем примере графиком функции является верхняя полусфера радиуса 2.
Слайд 14Функции нескольких переменных
Построение графика функции происходит при помощи линий
уровня, которые образуются при пересечении поверхности с плоскостями, параллельными координатным.
Линией уровня функции называется множество точек на плоскости x0y, для которых
Линией уровня функции называется множество точек на плоскости x0y, для которых
Слайд 15 Число А называется пределом функции
в точке , если для любого найдётся такая окрестность точки , что для всех
удовлетворяющих неравенству
Выполняется неравенство
- обозначение.
удовлетворяющих неравенству
Выполняется неравенство
- обозначение.
Слайд 16 Функция
называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и имеет в этой точке предел, равный значению функции в этой точке.
Слайд 17Функции нескольких переменных
Теорема 2. Сумма, разность, произведение и частное
непрерывных в точке функций, являются непрерывными функциями (в случае частного знаменатель отличен от нуля).
Теорема 3. Непрерывная функция от непрерывных функций является непрерывной.
Теорема 4. Всякая функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве ограничена на этом множестве и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.
Теорема 3. Непрерывная функция от непрерывных функций является непрерывной.
Теорема 4. Всякая функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве ограничена на этом множестве и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.
Слайд 18 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел, если он существует, отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении этого приращения к нулю.
Слайд 20Функции нескольких переменных
При нахождении частной производной, например по х,
только х считается переменной величиной, все остальные «буквы» считаются постоянными со всеми вытекающими правилами нахождения производной функции одной переменной.
Слайд 23 Функция
называется дифференцируемой в точке , если существуют два таких числа А и В, что
И в этом случае правая часть равенства называется полным дифференциалом функции двух переменных в точке
И в этом случае правая часть равенства называется полным дифференциалом функции двух переменных в точке
Слайд 26Функции нескольких переменных
Теорема 5. Если функция дифференцируема в некоторой
точке, то она в этой точке непрерывна.
Теорема 6. Если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные, которые в самой точке непрерывны, то функция в этой точке дифференцируема.
Теорема 6. Если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные, которые в самой точке непрерывны, то функция в этой точке дифференцируема.
Слайд 27Функции нескольких переменных
Теорема 7. Если функция дифференцируема в
точке , а x и y в свою очередь являются дифференцируемыми функциями переменных u и v в точке , причём , то сложная функция дифференцируема в точке а её частные производные вычисляются по формулам
Слайд 28Функции нескольких переменных
Рассмотрим производную функции одной переменной, заданной неявно
Слайд 35Функции нескольких переменных
Частные производные первого порядка сами могут иметь частные
производные. Тогда:
смешанные частные
производные
смешанные частные
производные
Слайд 36Функции нескольких переменных
Таким же образом из этих частных производных
второго порядка можно получить производные третьего порядка и т.д.
Слайд 39Функции нескольких переменных
Смешанные частные производные одной и той же
функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Это свойство называется равенством смешанных производных.
Слайд 40Функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию z = f (x, y),
определённую в некоторой окрестности точки
Дадим аргументам такие приращения , чтобы точка М переместилась в точку не произвольным образом, а по направлению некоторого вектора Тогда соответствующее приращение функции называется приращением функции в направлении
Дадим аргументам такие приращения , чтобы точка М переместилась в точку не произвольным образом, а по направлению некоторого вектора Тогда соответствующее приращение функции называется приращением функции в направлении
Слайд 42Функции нескольких переменных
Косинусы углов, образованных вектором
с положительными направлениями осей координат, называют направляющими косинусами.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Слайд 44Функции нескольких переменных
Если функция z дифференцируема в точке М,
то
Если известны координаты вектора то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
Если известны координаты вектора то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
Слайд 46Задача
Пример. Найти производную функции
в
точке М (1; 1) по направлению к точке N (-1; 2) и градиент функции в точке М.
Слайд 48 Точка
называется точкой максимума (локального максимума) функции z = f (x, y), если существует такая окрестность точки М, что для всех других точек N (x, y) из этой окрестности, выполняется неравенство:
Аналогично для минимума ( > ).
Аналогично для минимума ( > ).
Слайд 49Функции нескольких переменных
Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая
функция имеет экстремум в некоторой точке, то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.
Точки из ООФ, в которых частные производные первого порядка этой функции равны нулю (или не существуют за исключением хотя бы одной) называются критическими точками.
Точки из ООФ, в которых частные производные первого порядка этой функции равны нулю (или не существуют за исключением хотя бы одной) называются критическими точками.
Слайд 50Функции нескольких переменных
Теорема (достаточное условие существования экстремума функции двух
переменных). Пусть функция z определена в некоторой окрестности критической точки М и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:
Рассмотрим
Рассмотрим
Слайд 51Функции нескольких переменных
Если этот определитель положителен, то в критической
точке функция достигает экстремума, причём максимума, если А<0, минимума, если A>0.
Если определитель отрицательный, то экстремума в критической точке нет.
Если определитель равен нулю, требуется дополнительное исследование.
Если определитель отрицательный, то экстремума в критической точке нет.
Если определитель равен нулю, требуется дополнительное исследование.
Слайд 53Задача
Решение. Сначала найдём критические точки (используя необходимое условие существования
экстремума) из системы:
Слайд 54Задача
Найдём частные производные второго порядка:
Вычислим их значения в критической
точке М:
А=0, В= -6, С=0. Запишем определитель
следовательно в точке М
экстремума нет.
А=0, В= -6, С=0. Запишем определитель
следовательно в точке М
экстремума нет.
Слайд 55Задача
В точке N:
А=6, В= -6, С=24.
следовательно в точке N
функция достигает экстремума,
причём минимума, т.к. А=6 > 0.
функция достигает экстремума,
причём минимума, т.к. А=6 > 0.
Слайд 56Функции нескольких переменных
Может оказаться, что у функции нескольких переменных
эти переменные не являются независимыми друг от друга, а связаны какими-то условиями. (Ситуация, типичная для экономики).
Рассмотрим задачу нахождения экстремума функции двух переменных z = f(x,y), при дополнительном условии Это условие называется уравнением связи, а сам экстремум называется условным экстремумом.
Рассмотрим задачу нахождения экстремума функции двух переменных z = f(x,y), при дополнительном условии Это условие называется уравнением связи, а сам экстремум называется условным экстремумом.
Слайд 57Функции нескольких переменных
В простейших случаях нахождение экстремума функции двух
переменных может свестись к нахождению экстремума функции одной переменной, если уравнение связи допускает выражение одной переменной через другую. В более сложных случаях для нахождения условного экстремума применяется «Метод множителей Лагранжа». Составляется вспомогательная функция Лагранжа :
Слайд 58Функции нескольких переменных
Где:
- исходная функция
- уравнение связи
- неопределённый множитель
Лагранжа
Наша задача сводится к отысканию экстремума функции трёх переменных
- уравнение связи
- неопределённый множитель
Лагранжа
Наша задача сводится к отысканию экстремума функции трёх переменных
Слайд 59Функции нескольких переменных
Пользуясь необходимым условием существования экстремума функции нескольких
переменных имеем систему:
Слайд 60Функции нескольких переменных
Чтобы выяснить достигает ли функция в критической
точке условного экстремума, достаточно выяснить значение определителя в критической точке.
Если это значение положительно, то в данной критической точке функция достигает условного максимума, если отрицательно, то - условного минимума.
Если это значение положительно, то в данной критической точке функция достигает условного максимума, если отрицательно, то - условного минимума.
Слайд 65Функции нескольких переменных
Максимальное и минимальное значения функции (глобальные
экстремумы) в замкнутой и ограниченной области следует искать среди критических точек функции, лежащих внутри области или на границе этой области.
Слайд 66Задача
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
6x – 2xy + 4y в области, заданной системой
Слайд 68Задача
Изобразим заданную область и критическую точку. Область представляет собой
прямоугольник.
Критическая точка расположена внутри него.
Критическая точка расположена внутри него.
Слайд 69Задача
Найдём теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе
области (на каждой из сторон прямоугольника).
Слайд 70Задача
Сравнивая все полученные результаты видим, что наибольшее значение функции
– 16, оно достигается в точке D(4; 2), наименьшее – 8, в точке C(4; 4), в критической точке функция не достигает своих наибольшего и наименьшего значений.
