Презентация на тему Элементы теории множеств

Презентация на тему Элементы теории множеств, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 53 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Тема 2 Элементы теории множеств


Слайд 2
Текст слайда:

Можно ли дать определение понятию «Множество»?

Множество – одно из фундаментальных первичных понятий математики. Его нельзя определить через другие понятия.
Множество можно представить как совокупность объектов.


Слайд 3
Текст слайда:



«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

Основоположник теории множеств, немецкий математик
Георг Кантор
(1845-1918)


Слайд 4
Текст слайда:

Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами (А,B,…)
Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита (a,b...).


Слайд 5
Текст слайда:

Примеры множеств:

множество учащихся в данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных чисел;
множество корней уравнения.


Слайд 6
Текст слайда:


Множество корней уравнения (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=0

Составьте множество из соответствующих элементов

4

- 4

3

1

-1

- 2

- 3

2


Слайд 7
Текст слайда:

Принадлежность элемента множеству

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение ∉.


Слайд 8
Текст слайда:

Подмножество

Говорят, что множество А содержится в множестве В или  множество А  является подмножеством множества  В, если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В .
В этом случае пишут А ⊂ В.


Слайд 9
Текст слайда:

Способы задания множеств

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: или A={студент А., рабочий Л., школьник М.}.
2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B».
3. Множество можно задать порождающей процедурой, например, множество натуральных чисел:
А={а/а=2k, k-любое натуральное число}.


Слайд 10
Текст слайда:

Например, перечислением заданы следующие множества:

А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x1,x2,...,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,...,xn
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
А={х | х2-5х+6=0}.


Слайд 11
Текст слайда:

N – множество всех натуральных чисел;
Z– множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел


Слайд 12
Текст слайда:

Задайте перечислением элементов множество:

1) A = {x / x ∈ N, x2 – 4 = 0}; 2) B = {x / x ∈ Z, | x | < 5}; 3) C = {x / x ∈ N, x ≤ 20, x = 5k, k ∈ Z}.


Слайд 13
Текст слайда:

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные,
2 – бесконечные,
3 – пустые.


Слайд 14
Текст слайда:

Множество является КОНЕЧНЫМ, если оно состоит из конечного числа элементов

Пример
Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.


Слайд 15
Текст слайда:

Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов

Пример
Множество натуральных чисел бесконечно.
Пример
Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.


Слайд 16
Текст слайда:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅

Пример
Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.
Пример
Множество людей, проживающих на Солнце.


Слайд 17
Текст слайда:

Мощность множества

Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом m(A).
С точки зрения мощности множество чисел
{-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.


Слайд 18
Текст слайда:

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

В любой конкретной задаче приходится иметь дело с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества, состоящего из допустимых для этой задачи объектов.
Его принято называть универсальным (универсумом) и обозначать символом U.
Например, если мы рассматриваем множество действительных корней уравнения, то в качестве универсального можно взять множество всех действительных чисел.


Слайд 19
Текст слайда:

Наглядное представление множеств

Наглядно свойства множеств, операции над множествами и отношения между множествами изображают при помощи рисунков, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)


Слайд 20
Текст слайда:

Диаграммы Венна

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника


Слайд 21
Текст слайда:

Отношения на множествах и между множествами


Слайд 22
Текст слайда:

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Отношения между парами объектов называются бинарными.
Примеры:
Равенство
Неравенство
Принадлежности
Включения
«Быть братом», делиться на какое-либо число


Слайд 23
Текст слайда:

ОТНОШЕНИЕ РАВЕНСТВА

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .


Слайд 24
Текст слайда:

ОТНОШЕНИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ

Если множество А  является подмножеством множества  В (А ⊂ В ), то отношение между множествами называется  включением.
Для любого множества  А имеют место включения:
∅⊂ А  и  А ⊂  А .


Слайд 25
Текст слайда:

Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2, 3, 5, 7}, B ={1, 3, 5}, С= {5, 3, 1}.


Слайд 26
Текст слайда:

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ


Слайд 27
Текст слайда:

Объединение множеств

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А∪В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е ∈А ∪ В  тогда и только тогда, когда либо  е ∈ А ,  либо  е ∈ В .  


Слайд 28
Текст слайда:

Операции над множествами объединение

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},

то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}


1

2

4

А


4

3

5

6

В


Слайд 29
Текст слайда:

Объединение множеств


Слайд 30
Текст слайда:

Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.


Слайд 31
Текст слайда:

Операции над множествами пересечение

Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e},

то А ∩ В = {b}


Слайд 32
Текст слайда:

Пересечение множеств 


Слайд 33
Текст слайда:

Разностью

множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.


Слайд 34
Текст слайда:

Операции над множествами разность

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}

то А\В = {1,2}


1

2

4

А


4

3

5

6

В


Слайд 35
Текст слайда:

Разность множеств А\В


Слайд 36
Текст слайда:

Разность множеств В\А


Слайд 37
Текст слайда:

Операции над множествами

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (А\В) ∪ (В\А).


Слайд 38
Текст слайда:

Операции над множествами симметрическая разность

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},

то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}


Слайд 39
Текст слайда:

Симметричная разность


Слайд 40
Текст слайда:

Операции над множествами

Абсолютным дополнением множества называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество


Слайд 41
Текст слайда:

Свойства операций над множествами:


Слайд 42
Текст слайда:

П р и м е р ы

 Множество детей является подмножеством всего населения.
Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
 Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.


Слайд 43
Текст слайда:

Даны множества

Найти: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность


Слайд 44

Слайд 45

Слайд 46

Слайд 47

Слайд 48

Слайд 49
Текст слайда:

Формула мощности объединения непересекающихся конечных множеств (1)

Если конечное множество А представимо в виде объединения N попарно непересекающихся конечных множеств А1, А2 …АN, то его мощность

m(A)=m(A1)+m(A2)+…+m(AN)


Слайд 50
Текст слайда:

Формула включений и исключений для двух множеств (2)

Для любых двух конечных А и В справедливо равенствo
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A ∩B)


Слайд 51
Текст слайда:

Формула включений и исключений для трех множеств (2)

Для любых трех конечных А, В и С справедливо равенствo
m(А U В U С) = m(А )+ m(В)+ m(С)-
m(A∩B)- m(A∩C ) - m(B∩C) +
+ m(A∩B∩C)


Слайд 52
Текст слайда:

Задача

На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стерео­метрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?


Слайд 53
Текст слайда:

Решение.
Пусть U — множество всех абитуриентов, А —. множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В — множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии, С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию m(U) =1000, m(A) = 800, m(В)=700, m(С)=600, m(A∩B)= 600, m(A∩C) = 500, m(B∩C) = 400, m(A∩B∩C) =300. В множество A∩B∩C включены все абитуриенты, решившие хо­тя бы одну задачу.
По формуле включений и выключений (3) имеем:
m(А U В U С) =800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300= =900.
Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили
m(U) - m(AUBUC)=1000 - 900=100 (абитуриентов).


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика