Элементы математического анализа презентация

3. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования: метод подстановки, метод интегрирования по частям.

y- функция (зависимая переменная)
x- аргумент независимая переменная)

2. Область определения функции

Множество значений x при которых функция y определена.

Множество точек плоскоcти

График – это линия в

5. Частное значение функции

Значение функции y при заданном значении аргумента x=a.

4.Предел функции y=f(x) в точке a

3.Предел суммы и разности

4.Предел произведения

5.Предел частного

6.Первый замечательный предел

7.Второй замечательный предел

2.Точки разрыва функции

Точки в которых нарушена непрерывность функции

- непрерывны в точке

3. Функция непрерывна на [a,b]

Функция на [a,b]

1) ограничена

2)принимает наибольшее M и наименьшее m значения

3)принимает все промежуточные значения между m и M

Обозначения:

– ввел Ж.Лагранж

– ввел Г.Лейбниц

2. Найти приращение функции

3. Вычислить отношение

4. Найти производную

Пусть дана функция

α

– угол наклона секущей M0N;

– угол наклона касательной.

Геометрический
смысл:

Производная f ’( x0) – это угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке M0(x0, f (x0)).

Пусть дана функция

0

x

y

M0

x0

y0

Записать уравнения касательной и нормали к графику этой функции в точке

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:

Касательная

Нормаль

к касательной

Теорема.

Замечание.

Обратное утверждение неверно.

Если функция y = f ( x ) дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

12-00
13-50

0

x

y

0

x

y

Примеры.

Сложная функция может состоять из большего числа звеньев:

Два звена.

Пример.

Три звена.

При дифференцировании сложной функции важно уметь представить ее в виде цепочки звеньев.

Пример.

Функция y называется сложной функцией переменной x, если

Правило цепочки.

Примеры.

Замечание.

Опр.

Например,

1) для функции

первообразной является функция

2) для функции

3) для функции

Неопределенный интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается
.

Например,

— совокупность парабол

Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции

Где

называется интегральной суммой для функции на отрезке . Она зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек .

Таким образом, по определению

Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок – отрезком интегрирования.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

.

В3. Формула Ньютона-Лейбница.

Введем знак «двойной подстановки»:

Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

Вычисление определенного интеграла

Найти первообразную F(x) для функции f(x) ;

Вычислить разность F(b) – F(a) .

Если

то имеет место формула

которая называется формулой интегрирования по частям
в определенном интеграле.

(3)

,

Методы интегрирования.

, причем

удовлетворяет условиям:

Тогда имеет место формула

(2)

1)

2)

,

– непрерывна на [

.

,

],

Методы интегрирования.

Необходимо запомнить:
1) в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования
по формулам , ;
2) после нахождения неопределенного интеграла надо вернуться к старой
переменной, а в определенном интеграле этого делать не нужно.

Опр. Несобственным интегралом от функции
на промежутке называется

и обозначается

Геометрический смысл несобственного интеграла.

Если , то – это площадь бесконечной криволинейной трапеции с основанием