Экстремум функции презентация

Содержание

1. Экстремум функции
2. Точка х1 называется точкой минимума функции
3. max min max
4. На одном промежутке функция может иметь несколько
5. Однако, функция может иметь экстремум в точке,
6. Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум
7. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума,
8. Найти критические точки и экстремумы функций: 1 Примеры
9. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
10. min
11. 2
12. Решение: Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка
14. Если при переходе через точку х0 производная
15. Доказательство: Пусть производная меняет знак с плюса
16. и будет убывать на По определению
17. 1 Найти производную функции 2
18. 3 Исследовать знак производной слева и
19. Исследовать функцию на экстремум: Пример
20. Решение: Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции:
21. 2 Находим критические точки: критические точки
22. 3 Исследуем знак производной слева и
23. 4 Находим экстремум функции:
24. Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x)
25. Доказательство: Пусть следовательно и в некоторой окрестности точки х0, т.е.
26. функция будет возрастать на содержащем точку
27. Таким образом, функция при переходе через точку
28. Схема исследования функции на экстремум в этом
29. Из второго достаточного условия следует, что если

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции.

Слайд 19.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в

некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство

Слайд 2
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

точки х1 выполняется неравенство

Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно
максимумом и минимумом функции.

Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.

Слайд 3
max
min
max

Слайд 4На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции.

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:

Слайд 5Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

дифференцируема.

Например, функция

имеет минимум в точке

но она в этой точке не дифференцируема.

Слайд 6Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо,

чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.

необходимое условие экстремума:

Слайд 7Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в

какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической.

Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Слайд 8Найти критические точки и экстремумы
функций:
1

Примеры

Слайд 9Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 10
min

Слайд 112

Слайд 12Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 13

Слайд 14Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак

с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс, то х0
есть точка минимума.

первое достаточное условие экстремума

Слайд 15Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором

интервале

а на некотором интервале

Тогда функция y=f(x) будет возрастать на

Слайд 16и будет убывать на
По определению возрастающей функции
Для убывающей функции

-точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Слайд 171

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

или не существует.

схема исследования функции на экстремум

Слайд 183

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
4

Найти экстремум

функции.

Слайд 19Исследовать функцию на экстремум:

Пример

Слайд 20Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:

Слайд 212
Находим критические точки:

критические точки

Слайд 22
3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min
В точке

х=1 экстремума нет.

Слайд 234
Находим экстремум функции:

Слайд 24Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.

второе достаточное условие экстремума:

Слайд 25Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

на интервале
а на интервале

Слайд 27Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет знак с минуса

на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума.

Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Слайд 28Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

третий пункт следует заменить на:

Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Слайд 29Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая

производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума.

Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума.

В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.

Скачать презентацию

Экстремум функции презентация

Содержание

Слайд 19.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в

Слайд 2
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

Слайд 3
max
min
max

Слайд 4На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

Слайд 5Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

Слайд 6Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо,

Слайд 7Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в

Слайд 8Найти критические точки и экстремумы
функций:
1

Примеры

Слайд 9Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 10
min

Слайд 112

Слайд 12Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 13

Слайд 14Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак

Слайд 15Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором

Слайд 16и будет убывать на
По определению возрастающей функции
Для убывающей функции

Слайд 171

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

Слайд 183

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
4

Найти экстремум

Слайд 19Исследовать функцию на экстремум:

Пример

Слайд 20Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:

Слайд 212
Находим критические точки:

критические точки

Слайд 22
3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min
В точке

Слайд 234
Находим экстремум функции:

Слайд 24Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

Слайд 25Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

на интервале
а на интервале

Слайд 27Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет знак с минуса

Слайд 28Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

Слайд 29Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Экстремум функции презентация

Содержание

Слайд 19.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИТочка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в

Слайд 2Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

Слайд 3maxminmax

Слайд 4На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть,

Слайд 5Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не

Слайд 6Для того, чтобы функция y=f(x) имелаэкстремум в точке х0 , необходимо,

Слайд 7Точки, в которых выполняется необходимоеусловие экстремума, называютсякритическими или стационарными.Т.об., если в

Слайд 8Найти критические точки и экстремумыфункций:1Примеры

Слайд 9Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 10min

Слайд 112

Слайд 12Решение:Применим необходимое условие экстремума:- критическая точка

Слайд 13

Слайд 14Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак

Слайд 15Доказательство:Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором

Слайд 16и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции

Слайд 171Найти производную функции2Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

Слайд 183Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.4Найти экстремум

Слайд 19Исследовать функцию на экстремум:Пример

Слайд 20Решение:Применим схему исследования функции на экстремум:1Находим производную функции:

Слайд 212Находим критические точки:критические точки

Слайд 223Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:minВ точке

Слайд 234Находим экстремум функции:

Слайд 24Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

Слайд 25Доказательство:Пусть следовательнои в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26функциябудет возрастать на содержащем точку х0.Но на интервалеа на интервале

Слайд 27Таким образом, функцияпри переходе через точку х0 меняет знак с минуса

Слайд 28Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но

Слайд 29Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Слайд 19.3. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в

Слайд 2
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности

Слайд 3
max
min
max

Слайд 6Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо,

Слайд 7Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Т.об., если в

Слайд 8Найти критические точки и экстремумы
функций:
1

Примеры

Слайд 9Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 10
min

Слайд 12Решение:
Применим необходимое условие экстремума:

- критическая точка

Слайд 14Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x)меняет
знак

Слайд 15Доказательство:
Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором

Слайд 16и будет убывать на
По определению возрастающей функции
Для убывающей функции

Слайд 171

Найти производную функции
2

Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю

Слайд 183

Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
4

Найти экстремум

Слайд 19Исследовать функцию на экстремум:

Пример

Слайд 20Решение:
Применим схему исследования функции на экстремум:
1
Находим производную функции:

Слайд 212
Находим критические точки:

критические точки

Слайд 22
3
Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

min
В точке

Слайд 234
Находим экстремум функции:

Слайд 24Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю,

Слайд 25Доказательство:
Пусть
следовательно
и в некоторой окрестности точки х0, т.е.

Слайд 26функция
будет возрастать на
содержащем точку х0.
Но

на интервале
а на интервале

Слайд 27Таким образом, функция
при переходе через точку х0 меняет знак с минуса