- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных презентация
Содержание
- 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- 2. § 1. Понятие функции двух переменных.
- 3. Пусть x, y – две независимые друг
- 4. Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества
- 5. Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.
- 6. Примеры: График функции (эллиптический параболоид)
- 7. график функции (гиперболический параболоид)
- 8. График функции
- 9. График функции
- 10. Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество
- 11. Примеры
- 12. Графическое изображение области определения функции. Пример. Построим область определения функции
- 14. Линии уровня Опр. Множество точек плоскости таких,
- 19. Построение графика функции двух переменных Рассмотрим пример построения графика функции
- 20. Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75.
- 22. Находя множество линий уровня, строим весь график.
- 24. § 2. Понятие функции трех и более переменных.
- 25. Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области
- 26. Примеры
- 27. Опр. Множество точек пространства, в которых функция
- 29. § 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- 30. Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y)
- 31. Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке
- 32. Аналогичные определения имеют место и для функции
- 33. Если в какой – либо точке условие
- 34. 1. Функция z = f(x, y) не определена в точке
- 35. § 4. Частные производные функции нескольких переменных
- 45. Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим
- 46. Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение
- 47. Опр. Частной производной по x от функции
- 48. Таким образом, по определению,
- 49. Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y)
- 50. В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной xk называется предел
- 51. Т.к. при вычислении частных производных все переменные,
- 52. Пример. Найти частные производные функции
- 53. Решение. Полагая y = const, находим
- 54. Полагая x = const, находим
- 55. Пример. Найти значения частных производных функции в точке M(1, –1, 0).
- 56. Решение. Полагая y = const, z = const, находим
- 57. Аналогично находим
- 58. Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные
- 59. Эти производные в свою очередь являются функциями
- 60. Частными производными 2-го порядка называются частные производные
- 62. В общем случае смешанные частные производные могут
- 63. Частными производными n–го порядка называются частные производные
- 64. Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.
- 65. Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции
- 66. Решение. Последовательно находим
§ 1. Понятие функции двух переменных.
Слайд 3Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные. Графически
пару независимых переменных (x, y) можно представить как точку M(x, y) на плоскости xOy. Пусть D – некоторое множество точек M(x, y).
Слайд 4Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по некоторому закону
f ставится в соответ-ствие вполне определенное действительное число z, то говорят, что z есть функция двух переменных x и y и пишут
z = f(x, y) или z = f(M),
где M = M(x, y) – точка плоскости.
z = f(x, y) или z = f(M),
где M = M(x, y) – точка плоскости.
Слайд 5Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.
Слайд 10Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество D точек M(x, y), в
которых функция z = f(x, y) определена и может быть вычислена. Все значения, которые принимает функция z = f(x, y) (в области ее определения), образуют множество значений функции.
Слайд 12Графическое изображение области определения функции.
Пример. Построим область определения функции
Слайд 14Линии уровня
Опр. Множество точек плоскости таких, что функция f(x, y) принимает в
них одно и то же значение, f(x, y) = c, называется линией уровня.
Слайд 20Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем самым мы определили
в пространстве плоскость z = 75. Находим линию уровня при z = 75:
100 – x2 – y2 = 75, откуда x2 + y2 = 25 – уравнение окружности.
100 – x2 – y2 = 75, откуда x2 + y2 = 25 – уравнение окружности.
Слайд 24§ 2. Понятие функции трех и более переменных.
Всякая упорядоченная совокупность действительных
чисел (x1, x2, …, xn) называется точкой n–мерного пространства Rn. Пусть D – некоторое мно-жество точек пространства Rn.
Слайд 25Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области D по некоторому закону
f ставится в сответствие вполне определенное число u, то говорят, что u есть функция n переменных и пишут
u = f(x1, x2, …, xn) или u = f(M)
где M = M(x1, x2, …, xn) – точка n–мерного пространства.
u = f(x1, x2, …, xn) или u = f(M)
где M = M(x1, x2, …, xn) – точка n–мерного пространства.
Слайд 27Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x, y, z) принимает
одно и то же значение, f(x, y, z) = c, называется поверхностью уровня.
Слайд 30Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), если
для каждого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε), что при 0 < |x – x0| < δ и 0 < |y – y0| < δ выполняется неравенство |f(x,y) – A| < ε. При этом пишут
Слайд 31Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если функция z = f(x, y)
определена в этой точке и существует
Слайд 32Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1, x2, …, xn) в случае произвольного
числа n переменных.
Слайд 33Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется, то
эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
Слайд 341. Функция z = f(x, y) не определена в точке M0(x0, y0).
2. Не существует предел
3. Этот предел существует, но он не равен f(x0, y0).
Слайд 45Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим независимой переменной x приращение
Δx, оставляя при этом переменную y неизменной. Тогда функция z получит приращение
которое называется частным приращением z по x.
которое называется частным приращением z по x.
Слайд 46Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при этом
неизменной переменную x, то функция z получит приращение
называемое частным приращением z по y.
называемое частным приращением z по y.
Слайд 47Опр. Частной производной по x от функции z называется предел отношения
частного приращения Δxz к приращению Δx при стремлении Δx к нулю.
Эта производная обозначается одним из символов
Эта производная обозначается одним из символов
Слайд 49Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y) по переменной y :
Обозначается
одним из символов
Слайд 50В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной
xk называется предел
Слайд 51Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными,
то для частных производных сохранаяются все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной.
Слайд 59Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и
y. Будем называть
и частными производными 1-го порядка.
и частными производными 1-го порядка.
Слайд 60Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го
порядка.
Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:
Для функции z = f(x, y) двух переменных можно найти четыре частные производные 2-го порядка, которые обозна-чаются следующим обр-м:
Слайд 62В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для
них справедлива теорема:
Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.
Теорема. Если смешанные частные производные и непрерывны в некоторой точке M(x, y), то они равны, т. е.
Слайд 63Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го
порядка.
Их обозначают
и т. д.
Их обозначают
и т. д.
