- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Числовые ряды презентация
Содержание
- 1. Числовые ряды
- 2. Определение числового ряда Рассмотрим некоторую
- 3. Понятие сходящегося ряда Опр. Конечные
- 4. Пример сходящегося ряда Показать, что
- 5. Свойства сходящихся рядов 1) Сходящиеся
- 6. Свойства сходящихся рядов От сходящегося
- 7. Примеры Геометрический ряд
- 8. Гармонический ряд Ряд
- 9. Признаки сходимости ряда
- 10. Пример расходящегося ряда Пример 1.
- 11. Знакоположительные ряды
- 12. Признак сравнения.
- 13. Признак сравнения в предельной форме
- 14. Примеры В качестве рядов для
- 15. Примеры Исследовать на сходимость ряды
- 16. Примеры Ряд
- 17. Признак Даламбера Если существует
- 18. Примеры Исследовать на сходимость ряд
- 19. Признак Коши Если существует конечный
- 20. Примеры Ряд
- 21. Интегральный признак
- 22. Обобщенный гармонический ряд Исследуем
- 23. Пример Исследовать на сходимость ряд
- 24. Продолжение
- 25. Знакопеременные ряды
- 26. Признак Лейбница Пусть члены знакочередующегося
- 27. Примеры Исследовать на сходимость ряды:
- 28. Примеры 2) общий член ряда
- 29. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- 30. Абсолютно сходящийся ряд Определение.
- 31. Условно сходящийся ряд Определение.
- 32. Пример Ряд
Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность . Составим
Слайд 2Определение числового ряда
Рассмотрим некоторую числовую последовательность
. Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму
Определение. Выражение (1)
называется числовым рядом, - общий член ряда.
Определение. Выражение (1)
называется числовым рядом, - общий член ряда.
Слайд 3Понятие сходящегося ряда
Опр. Конечные суммы
,
называются частичными суммами ряда (1).
Опр. Если существует конечный ,
то числовой ряд называется сходящимся, а
число - суммой ряда. Если равен
бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.
называются частичными суммами ряда (1).
Опр. Если существует конечный ,
то числовой ряд называется сходящимся, а
число - суммой ряда. Если равен
бесконечности или вообще не существует, то ряд расходится.
Слайд 4Пример сходящегося ряда
Показать, что ряд
сходится и найти его сумму.
Общий член ряда .
Тогда , , ,…
Общий член ряда .
Тогда , , ,…
Слайд 5Свойства сходящихся рядов
1) Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.
.
2) Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е.
Слайд 6Свойства сходящихся рядов
От сходящегося ряда можно отбросить конечное число
членов или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится.
Слайд 7Примеры
Геометрический ряд
Известно, что геометрическая прогрессия со знаменателем,
меньшим единицы,
сходится
сходится
Слайд 8Гармонический ряд
Ряд , называется
гармоническим.
Известно, что гармонический ряд расходится.
Известно, что гармонический ряд расходится.
Слайд 9Признаки сходимости ряда
Необходимое условие сходимости
ряда.
Если ряд сходится, то .
Если же , то ряд расходится.
Если ряд сходится, то .
Если же , то ряд расходится.
Слайд 12Признак сравнения.
Пусть даны ряды
и .
Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.
Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.
Слайд 13Признак сравнения в предельной форме
Если существует конечный и
отличный от нуля , то
ряды и сходятся или
расходятся одновременно.
Слайд 14Примеры
В качестве рядов для сравнения берут гармонический ряд
, который
расходится, и ряд или ,о
которых известно, что первый сходится, а второй при p>1сходится, а при p≤1 расходится.
расходится, и ряд или ,о
которых известно, что первый сходится, а второй при p>1сходится, а при p≤1 расходится.
Слайд 15Примеры
Исследовать на сходимость ряды
а)
и б) .
Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда ,с которым
сравниваем данный ряд.
. Ряд сходится.
Найдем предел отношения членов данного ряда и ряда ,с которым
сравниваем данный ряд.
. Ряд сходится.
Слайд 16Примеры
Ряд сравниваем с
гармоническим рядом .
Так как , то данный ряд
расходится вместе с гармоническим рядом.
Так как , то данный ряд
расходится вместе с гармоническим рядом.
Слайд 17Признак Даламбера
Если существует конечный
то
1)при ряд , где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.
1)при ряд , где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.
Слайд 19Признак Коши
Если существует конечный
то
1) при ряд , где , сходится,
2)при ряд расходится,
3)при признак ответа не дает.
Слайд 20Примеры
Ряд
исследуем с помощью признака Коши.
Вычислим .
Тогда
и ряд согласно признаку Коши расходится.
Вычислим .
Тогда
и ряд согласно признаку Коши расходится.
Слайд 21Интегральный признак
Пусть члены ряда
положительны и при . Пусть функция при имеет значения , положительна, непрерывна и монотонно убывает при
.Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным
интегралом
Слайд 22Обобщенный гармонический ряд
Исследуем ряд
.
Функция монотонно убывает.
Несобственный интеграл
= .Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .
Функция монотонно убывает.
Несобственный интеграл
= .Ряд расходится при p<1
и сходится при p>1 .
Слайд 23Пример
Исследовать на сходимость ряд
. Члены ряда
положительны и монотонно убывают.
Функция , очевидно, также
положительна при x≥2, непрерывна и монотонно убывает.
положительны и монотонно убывают.
Функция , очевидно, также
положительна при x≥2, непрерывна и монотонно убывает.
Слайд 26Признак Лейбница
Пусть члены знакочередующегося ряда
удовлетворяют условиям:
1)
и 2) .
Тогда знакочередующийся ряд сходится, причём его сумма S не превосходит его первого члена, т.е. .
Слайд 27Примеры
Исследовать на сходимость ряды:
1)
, 2) .
1) члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают и .
Согласно признаку Лейбница ряд сходится.
1) члены знакочередующегося ряда
монотонно убывают и .
Согласно признаку Лейбница ряд сходится.
Слайд 28Примеры
2) общий член ряда
не стремится к нулю, так как
Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.
Слайд 29Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Если сходится ряд
, то
знакопеременный ряд также сходится.
знакопеременный ряд также сходится.
Слайд 30Абсолютно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд
, то
знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.
Слайд 31Условно сходящийся ряд
Определение.
Если сходится ряд
, а
ряд расходится, то
знакопеременный ряд
называется условно сходящимся.
ряд расходится, то
знакопеременный ряд
называется условно сходящимся.
Слайд 32Пример
Ряд
абсолютно сходится, т.к.
ряд из модулей его членов
сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд
расходится вместе с гармоническим рядом .
ряд из модулей его членов
сходится. Ряд сходится условно, т.к. он согласно признаку Лейбница сходится, но ряд из модулей его членов, т.е. ряд
расходится вместе с гармоническим рядом .
