Тема 5. Одновимірні дискретні та неперервні випадкові величини (основні поняття). Змістовий модуль II. Випадкові величини презентация

II. Випадкові величини

величини.
3. Функція розподілу дискретної випадкової величини.
4. Форми завдання неперервної випадкової величини та її властивості
5. Числові характеристики випадкових величин
5.1. Характеристики положення випадкової величини на числовій осі
5.2. Моменти випадкових величин та їх властивості

величини.
Одновимірною випадковою величиною називають величину, що у результаті експерименту приймає заздалегідь невідоме значення.

Для позначення випадкових величин використовують великі літери латинського алфавіту X, Y, Z, а для позначення їх можливих значень – відповідно малі літери x, у, z.

днів у році;
3. вага осколка снаряда, що розірвався;
4. час очікування громадського транспорту на зупинці;
5. температура навколишнього середовища.
6. число очок, яке випаде на верхній грані за одне кидання грального кубику ;
число бракованих виробів серед n навмання вибраних;
7. число кидань монети до першої появи герба;
8. число викликів, які надходять на телефонну станцию протягом деякого проміжку часу;
9. тривалість часу обслуговування покупця;
10. час виконання деякого завдання i т. д.

можливих значень яких скінченні або злічені, i неперервні величини, множини можливих значень яких суцільно заповнюють деякий інтервал.
Наведемо приклади дискретної і неперервної випадкових величин
1. Симетричну монету кидають двічі. Нехай випадкова величина X — кількість появ герба. Простір елементарних подій складаеться з чотирьох елементів:

Якщо розклад руху трамваїв невідомий, але відомо, що проміжок часу між прибуттям трамваю не перевищуе Т, то значения У належить відрізку [0, Т].

діляться на дискретні і неперервні.
Випадкова величина називається дискретною, якщо:
сукупність її можливих значень удається перерахувати −
x1, x2, …, xn (або x1 , x2 , …, xn , …), тобто значення належать зчисленній множині − скінченній або нескінченній;
2. можна знайти відповідні ймовірності k { k } p = P X = x того, що випадкова величина X приймає ці значення .
Аби мати вичерпну характеристику випадкової величини, необхідно знати її закон розподілу.

це співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.
У теорії ймовірностей розрізняють декілька форм завдання закону розподілу дискретної випадкової величини, найбільш корисні з яких є три:
1. ряд розподілу;
2. многокутник розподілу;
3. інтегральна функція розподілу.
Розглянемо послідовно кожну форму завдання закону розподілу дискретної випадкової величини.

що складається з двох рядків. У першому рядку розташовуються в порядку зростання всі можливі значення дискретної випадкової величини. В другому – відповідні ймовірності.
Загальний вид ряду розподілу відповідає табл.4.1.

величина повинна прийняти одне з можливих значень.
Оскільки всі можливі події {Х = x1}, {Х = x2}, ... утворюють повну групу несумісних подій, то сума відповідних імовірностей обов'язково повинна дорівнювати одиниці (умова нормування)

ряду розподілу ймовірностей. По осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат − імовірності цих значень. Для наочності отримані точки з’єднуються відрізками прямих.
Таким чином многокутник розподілу – це діаграма залежності ймовірностей pi можливих значень випадкової величини від самих цих значень xi (i={1, 2, …,n}) (рис. 4.1).

називається функція F(x), яка при кожному значенні свого аргументу x чисельно дорівнює ймовірності того, що випадкова величина X опиниться менше, ніж значення аргументу x, тобто

≤ F(x) ≤ 1, оскільки F(x) – ймовірність.
Властивість 2. F(x) – неспадна функція,
тобто якщо

подію, яка полягає в тому, що випадкова величина X прийме значення менше x2 , можна розділити на дві несумісні події:
А1 – X прийме значення менше x1 з імовірністю P{XА2 – X прийме значення з інтервалу x1 ≤ X < x2 з імовірністю

в заданий діапазон
Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, що містяться в інтервалі (а, b), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі:

абсцис можливими значеннями випадкової величини розбивається на (n +1) діапазон, в кожному з таких діапазонів функції F(х) має постійне значення:

її аналітичного запису.

У даному випадку а = 2,5 , а b = 3,5.
Підставляючи у формулу (4.3) значення аргументу інтегральної функції і обчислюючи значення інтегральної функції на границях заданого діапазону, одержуємо шуканий результат:

інтегральної функції (див. рис.4.4).

неперервною, якщо:
множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі, множина може бути обмеженою або необмеженою;
2. ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-якого наперед заданого значення хi , дорівнює нулю.

величини:
1) інтегральна функція розподілу ймовірності;
2) щільність розподілу ймовірності.
Обидві форми абсолютно рівноправні. Перша характеризує розподіл імовірностей у залежності від діапазону значень неперервної випадкової величини, а друга – від конкретних значень.

випадкових величин. З її допомогою можна задати закон розподілу як
дискретної випадкової величини, так і неперервної.
При числі діапазонів n →∞ дискретна функція розподілу перетворюється в неперервну інтегральну функцію розподілу F(х), зберігаючи всі її властивості.
Для інтегральної функції неперервної випадкової величини також справедлива формула (4.3), що дозволяє обчислювати ймовірність влучення значень
випадкової величини в заданий діапазон [a,b) (рис. 4.5).

(– ∞, х) неперервної випадкової величини. Проте, становить інтерес і функція, що здатна характеризувати кожне значення неперервної величини. Такою функцією є щільність розподілу ймовірності.
Функція щільності розподілу ймовірності f(x) являє собою відношення ймовірності влучення неперервної випадкової величини в малий діапазон [х,х+Δ х), до довжини цього діапазону Δ х:

першою похідною від інтегральної функції розподілу ймовірності F(x)

Якщо випадкова величина задана щільністю розподілу, то функцію розподілу можна знайти за формулою

Щільність розподілу f(x) неперервної випадкової величини успадковує усівластивості інтегральної функції розподілу F(x).

дорівнює одиниці (умова нормування)



Геометричний зміст рівності (4.7) полягає в рівності одиниці площі, обмеженої графіком функції f(x) і віссю абсцис.

є неспадною функцією.

дозволяють проводити порівняльний аналіз випадкових величин, давати оцінку очікуваним результатам експерименту, знаходити зв'язок і визначати залежність між різними випадковими величинами.
Числові характеристики випадкових величин – це не випадкові величини.
Кожна числова характеристика має тільки одне значення, що не залежить ні від результату конкретного експерименту, ні від кількості проведених експериментів.

за
ймовірностями значення випадкової величини.
Математичне сподівання характеризує зміщення значень випадкової величини на числовій осі х відносно початку координат. Математичне сподівання інколи називають просто середнім значенням випадкової величини.
Математичне сподівання випадкової величини будемо позначати mx або M[X].
Розмірність математичного чекання збігається з розмірністю випадкової величини Х.

її значень на їх імовірності, тобто



Зауважимо, що значения математичного сподівання випадкової величини не є випадкове [М(Х) стала величина].

значень випадкової величини, і тим точніше, чим більше число спостережень.
Розглянемо приклад, який з’ясовує доцільність прийнятого означення математичного сподівання.
Приклад1. Для розіграшу лотереї було випущено N білетів, з них m1 з виграшем x1 грн., m2 білетів з виграшем x2 грн., … mn білетів з виграшем xn грн. Яка ціна білета, якщо сума грошей, виручених від продажу білетів, дорівнює сумі усіх виграшів?
Рішення. Якщо позначити шукану ціну білета через a , то за умовою:

звідки

тобто ціна одного білета дорівнює “середньому виграшу”. Останню формулу можна записати й інакше. Покладемо , очевидно, pi- це ймовірність того, що на вибраний наугад білет, випаде виграш xi грн. Тоді ця формула запишеться так:

μ .

P{X < Me} = P{X > Me}
Для неперервної випадкової величини перпендикуляр до числової осі, що проходить через медіану, поділяє площу, обмежену графіком щільності розподілу f(x) і числовою віссю x, на дві рівні частини по 0,5 (рис.4.10).

набуття якого є найбільшою.
Медіаною дискретної випадкової величини X називається те її значения у законі розподілу, для якого сума ймовірностей можливих значень зліва i справа від нього не перевищуе 0,5.