Системы счисления (Лекция 02) презентация

метров 147, он зашел в магазин, купил там две семерки яиц и пошел дальше…»
(неточная цитата из книги С.В. Фомина «Системы счисления»)
Когда мы оцениваем какую-то величину — возраст человека, расстояние и т. п. — приблизительно, то мы всегда пользуемся круглыми числами и говорим обычно «метров 150», «человек лет 50» и т. п.
Круглыми числами проще оперировать, чем некруглыми, их легче запомнить, с ними удобней производить арифметические действия. Например, ни для кого не составит труда умножить в уме 100 на 200, если же нужно перемножить два некруглых трехзначных числа, скажем 147 и 343, то далеко не всякий сделает это без карандаша и бумаги.

в том, что деление чисел на круглые и некруглые, по существу, условно и что одно и то же число может быть круглым или некруглым в зависимости от того, какой системой записи чисел или, как обычно говорят, какой системой счисления мы пользуемся.
Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим прежде всего, что представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой мы все пользуемся. В этой системе каждое целое положительное число представляется в виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно.
(2014)10 = 2*103+0*102+1*101+4*100

системы счисления!

вклад в число) зависит от ее позиции в записи числа.
Арабская система счисления - позиционная:
9999 – веса цифры «9» различны.
Римская система счисления - непозиционная:
LXXXII - восемьдесят два
(L в любой позиции пятьдесят,
Х в любой позиции десять,
I в любой позиции один).

записи числа.
Обозначение: q - основание системы счисления.
Если q =10, то используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
(651)10 = 6*102+5*101+1*100
(651)7 = (6*72+5*71+1*70)10=(336)10

развития

год=12 месяцев

Пятеричная система счисления (cчёт на пятки́)
существовала в России. Применялась в народе как минимум до конца XVIII — начала XIX вв.
была распространена у ряда африканских племен

Вавилон: шестидесятеричная система счисления 60=5*12 1 час=60 минут 1 минута=60 секунд 1 градус=60 минут

Двадцатеричная система счисления:
ацтеки и майя;
Западная Европа (кельты): 1 франк = 20 су

с помощью технических устройств с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы счисления: длинная запись числа

систем счисления легко перейти к двоичной и обратно;
Эти системы счисления ближе к десятичной и поэтому более удобны для человека;
Запись чисел в этих системах короче, чем в двоичной.

восьмеричной и шестнадтериной систем счисления являются степенями двойки (16=24, 8=23), то перевод чисел из этих систем счисления в двоичную и наоборот прост и основан на методах триад и тетрад.
ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНЫХ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ: каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) для восьмеричных чисел или тетрадой (четверкой цифр) для шестнадцатеричных чисел.

системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Если крайние триады (тетрады) оказались неполными, они дополняются нулями в целой части числа – слева, в дробной части (после запятой) - справа.

11 0101 1100 0111 (2)
↓ ↓ ↓ ↓
0011 0101 1100 0111 (тетрады)
↓ ↓ ↓ ↓
3 5 C 7 16
110101110001112 = 35С716

Пример 2:
1 0 A 16
↓ ↓ ↓
0001 0000 1010 (тетрады)

↓ ↓ ↓
1 0000 1010 2
10A16 = 1000010102

1011 0111,1012 (последняя тетрада неполная)

Пример 4:
11110,12 = 0001 1110,10002=1Е,816

= 25078

Пример 6:
1 0 7 8
↓ ↓ ↓
001 000 111 (триады)
↓ ↓ ↓
1 000 111 2
1078 = 10001112

001 001,010 1012

Пример 8:
10110,12=010 110,1002=26,48

тетрады и триады
1110110,12 = ?8;
1010001012 = ?16;
40118 = ?2;
СВ7,916 = ?2

любое натуральное число N можно представить в виде:
N = anqn + an-1qn-1 + ... + a1q1 + a0q0,
где для любого n an∈ {0,1,…,q-1};

q - основание системы счисления;
anan-1…a1a0 - запись натурального числа в системе счисления с основанием q.
В системе счисления с основанием q для записи чисел требуется q цифр, одна из которых ноль.

q2

Число делится нацело на q2 , затем полученное частное на q2 , и т. д., пока деление возможно (частное≥ q2 ).
Последнее частное и остатки, начиная с последнего, образуют запись числа в системе счисления с основанием q2 .
Деление выполняется в системе с основанием q1.

Пример: 2010 = 101002
Проверка: 101002 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 = 16+4 = 2010

восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112   =  1138  =  4B16

a-1 q-1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m
0,2510=2*(1/10)+5*(1/10)2
Дробь - нормализованная, если a-1≠0

q2

0,312510=0,248

Умножаем дробь на q2 , затем дробную часть произведения на q2 , и т. д., пока не будет достигнуто требуемое число знаков или пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Умножение выполняется в системе счисления с основанием q1 .