Решение инженерных задач на ЭВМ. Лекция 4 презентация

Содержание

ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В этих КЗ обязательно заданы начальные условия, т.е. значения функции и ее производных в начальный момент времени t =0, а также значения функции и

Слайд 1 Решение инженерных задач на ЭВМ

Лекция 4


Слайд 2ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В этих КЗ обязательно заданы

начальные условия, т.е. значения функции и ее производных в начальный момент времени t =0, а также значения функции и ее производных на краях области, т.е. краевые условия

Динамические КЗ формулируются для уравнений гиперболического и параболического типов.

Краевые задачи для уравнений математической физики подразделяются на

ДИНАМИЧЕСКИЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ


Слайд 3
т.е. при U ≡ 0

и динамическая задача становится задачей Коши (т.е. задачей с начальными условиями).

Например, для КЗ колебания растянутой струны условие будет записано так:

U t = 0 = f(x);

U ×= 0 = 0 ; U × = l = 0

t = 0= F(x)

(4.1)

Если рассматривать колебания бесконечно длинной струны, то краевые условия выполняются автоматически,

U t = 0 = f(x);

t = 0= F(x)

(4.2)



начальные условия

краевые условия

начальные условия


Слайд 4СТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим некоторую двумерную область G с граничным

контуром Г

Покажем на примере уравнения Лапласа формулировку всех КЗ для двумерной области (для других областей – формулировка аналогична).

формулируются для эллиптических уравнений

В зависимости от вида краевых условий стационарные КЗ подразделяются на 3 класса.

x

y


G

Г


Слайд 5Искомая функция U = U(x,y) внутри области G удовлетворяет ДУ Лапласа,

а на контуре Г совпадает с заданной функцией f(x,y)

U Г = f(x,y)

Первая краевая задача (Дирихле)

(4.3)

Вторая краевая задача (Неймана)

Искомая функция U = U(x,y) внутри области G удовлетворяет ДУ Лапласа, а на контуре Г нормальная производная совпадает с заданной функцией φ(x,y)




Г = φ (x,y)

(4.4)



краевое условие Дирихле

краевое условие Неймана




n

n


Слайд 6






Искомая функция U = U(x,y) внутри области G удовлетворяет ДУ

Лапласа, а на контуре Г комбинация искомой функции и нормальной производной совпадает с заданной функцией ψ (x,y)


(αU + ) Г = ψ (x,y)

3. Третья краевая задача (смешанная)

(4.5)


Покажем на примере формулировку трех типов краевых задач.


Слайд 7Первая краевая задача (Дирихле)
Пусть задана прямоугольная пластинка, находящаяся под действием температуры

Т на контуре

U Г = f(x,y)


- основное уравнение, где U = U(x,y) – функция, описывающая изменение температуры точек пластинки.

x

y


a

b

T = f4(x)

T = 0

T = f2(x)

T = 0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия Дирихле

3. U x = a = 0

1. U x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ a = f2(x)

(4.6)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = f4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b






Слайд 8Вторая краевая задача (Неймана)
Пусть задана прямоугольная пластинка, находящаяся под действием

теплового потока на контуре

x

y


a

b

q = φ4(x)

q = 0

q = φ2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия Неймана

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. 0 ≤ x ≤ a = φ2(x)

(4.7)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. 0 ≤ x ≤ a = φ4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b






Тепловой поток q – производная температуры U

Если грань теплоизолирована, то теплообмен отсутствует, т.е. q = 0



Слайд 9Третья краевая задача (смешанная)
На контуре прямоугольной пластинки заданы температура и

тепловой поток

x

y


a

b

Т = ψ4(x)

q =0

Т = ψ2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия смешанной КЗ

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ a = ψ2(x)

(4.8)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = ψ4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b





На гранях № 1 и 3 – краевые условия Неймана

На гранях № 2 и 4 – краевые условия Дирихле


Слайд 10Собственно - смешанная краевая задача
Краевые условия могут иметь точку раздела в

пределах грани

x

y


a

b

Т = f4(x)

q =0

Т = f2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x, y)

Краевые условия смешанной КЗ

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ c = f2(x)

(4.9)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = f4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b





На гранях № 1 и 3 – краевые условия Неймана

На грани № 4 – краевое условие Дирихле

q =0

c

На грани № 2 – краевые условия Дирихле и Неймана

с ≤ x ≤ а = 0

y = b



Слайд 11К собственно – смешанным задачам относятся контактные задачи Теории упругости, которые

являются механическими моделями инженерных задач при расчете фундаментов.

Стационарные задачи, связанные с уравнениями эллиптического типа, являются наиболее важными, т.к. с ними связаны расчеты на прочность и устойчивость конструкций.

Например, задача о вдавливании абсолютно жесткого штампа в упругое подпространство.

x

y






Слайд 12Однако точные методы применимы в основном к линейным задачам в областях

простой формы (прямоугольник, круг и т.п.), когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны относительно U(x,y) и ее производных.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Для многочисленных задач МФ не существует универсального метода, пригодного для всех задач.

В курсах уравнений МФ изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение: метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и др.


Слайд 13 Решение инженерных задач на ЭВМ

Лекция 5


Слайд 14Среди них чаще всего применяют разностные методы, благодаря их универсальности и

наличию хорошо разработанной теории.

Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида

Задачи для линейных уравнений, но в областях сложной формы

редко удается решить классическими методами.

Основным способом решения таких задач являются ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОД СЕТОК – обобщение Метода конечных разностей для случая многих неизвестных.


Слайд 151. Для применения этого разностного метода в области изменения функции U(x,y)

вводят математическую сетку.

МЕТОД СЕТОК

4. Решая полученную алгебраическую систему, находят приближенное (разностное) решение в узлах сетки

3. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой.

2. Все производные, входящие в ДУ и краевые условия, заменяют разностями значений функции U(x,y) в узлах сетки.

АЛГОРИТМ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА


Слайд 16Требуется найти функцию U(x,y) внутри некоторой области G

удовлетворяющей уравнению Пуассона, а на границе Г - краевому условию Дирихле

U Г = ψ(x,y)

Рассмотрим применение метода сеток для решения краевой задачи Дирихле в случае уравнения Пуассона (плоский случай).

(5.1)

(5.2)


x

y


G

Г

Предполагается, что среда сплошная и искомое решение U = U(x,y) не имеет особенностей.


Слайд 17Рассмотрим частный случай квадратной ячейки h = l.
xi = x0

+i ∙h, i = 0, 1, …, n

1. В плоской области G строится сеточная область GК , состоящая из одинаковых прямоугольных ячеек и приближающая данную область.

x

y


G

Г

ИДЕЯ МЕТОДА СЕТОК

Сетка строится путем проведения системы равноотстоящих линий


yk = y0 +k ∙l, k = 0, 1, …, m

Конфигурацию узлов называют шаблоном.

Шаблон может прямоугольным, квадратным, треугольным.

Узлы сетки принадлежат области G или отстоят на расстояние, не превышающее h.

От выбора основного размера ячеек зависит точность решения.



Слайд 18
Граничный узел 2-го рода – не соседствует с внутренними узлами.
Вh

– множество внутренних узлов сеточной области.

Узлы называются соседними, если отстоят друг от друга на расстоянии h.

x

y

G

Г

Sh – множество всех узлов сеточной области.


Внутренние узлы - узлы, принадлежащие области G, а все четыре соседние – множеству Sh.

В противном случае – узел граничный.

Граничный узел 1-го рода – имеет в качестве соседнего внутренний узел.

Граничные узлы 1-го рода образуют множество узлов Гh

h

h


































Слайд 19x
y
Gk
Гh
h
h
































Внутренние узлы и граничные узлы 1-го рода образуют множество расчетных узлов

Rh сеточной области GК

Rh = Вh + Гh

Вh

2. В качестве основных неизвестных выбираются значения искомой функции в узлах сетки

Ui k = U(xi, yk ) , i = 0, 1, ... n , k = 0, 1, ... m.



Слайд 20Рассмотрим внутренний узел области G.





i, k
i -1, k
i+1, k
i, k-1
i,

k+1

В каждом узле можно использовать конечно-разностные уравнения, обобщив их на случай частных производных



(5.3)



(5.4)


Слайд 21Для каждой внутренней точки области G, т.е. для каждого внутреннего узла

множества Вh, рассмотрим уравнение (5.1) используя конечно – разностные уравнения (5.4)

Для уравнения Пуассона ΔU = f(x , y) или

где fi , k = f(xi , yk ), i = 1, … n -1 , k = 1, ... m -1.

(5.5)


На основании краевых условий (5.2) устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области GК.

В граничных узлах 1-го рода

U (Гh ) = ψ (С ),

где С – ближайшая к Гh точка контура Г области G.

(5.6)


Слайд 223. Получим СЛАУ (5.5) – (5.6) относительно неизвестных Ui k
Количество уравнений

полученной СЛАУ равно числу внутренних узлов сетки Вh сеточной области GК .

Rh = Вh + Гh

Количество неизвестных СЛАУ равно числу расчетных узлов Rh сеточной области GК (внутренние узлы + граничные узлы 1-го рода)


Система уравнений (5.5) и (5.6) всегда совместна, когда речь идет о решении задачи Дирихле.

Лишние неизвестные (Гh ) в системе (5.5) исключаются с помощью краевых условий (5.6).

4. Решив полученную систему уравнений, определяем приближенные значения искомой функции в узлах сеточной области GК.



Слайд 23Самостоятельно:
Записать преобразованные с помощью конечно-разностных выражений:

уравнения Пуассона и Лапласа,

для сетки с прямоугольной (l = h) и квадратной (l = h) ячейкой.

Слайд 24x
y
h=1




















h=1
a =4
b=3
00
10
20
30
40
01
11
21
31
41
02
12
22
32
42
03
13
23
33
43


Слайд 25
x
h=1
h=1
a =6
b=4
21
20
19
18
22
5
6
7
8
23
3
4
13
14
24
1
2
9
y
10
11
12
15
16
17





























x
P(x,y)
y
U(x,y)


Слайд 26x












a =4
b=2
00
10
20
30
01
11
21
31
02
12
22
32
42



41
40




y


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика