Решение инженерных задач на ЭВМ. Лекция 4 презентация

Динамические КЗ формулируются для уравнений гиперболического и параболического типов.

Краевые задачи для уравнений математической физики подразделяются на

ДИНАМИЧЕСКИЕ

СТАЦИОНАРНЫЕ

Например, для КЗ колебания растянутой струны условие будет записано так:

U t = 0 = f(x);

U ×= 0 = 0 ; U × = l = 0

t = 0= F(x)

(4.1)

Если рассматривать колебания бесконечно длинной струны, то краевые условия выполняются автоматически,

U t = 0 = f(x);

t = 0= F(x)

(4.2)

начальные условия

краевые условия

начальные условия

Покажем на примере уравнения Лапласа формулировку всех КЗ для двумерной области (для других областей – формулировка аналогична).

формулируются для эллиптических уравнений

В зависимости от вида краевых условий стационарные КЗ подразделяются на 3 класса.

x

y

G

Г

U Г = f(x,y)

Первая краевая задача (Дирихле)

(4.3)

Вторая краевая задача (Неймана)

Искомая функция U = U(x,y) внутри области G удовлетворяет ДУ Лапласа, а на контуре Г нормальная производная совпадает с заданной функцией φ(x,y)

Г = φ (x,y)

(4.4)

краевое условие Дирихле

краевое условие Неймана

n

n

(αU + ) Г = ψ (x,y)

3. Третья краевая задача (смешанная)

(4.5)

Покажем на примере формулировку трех типов краевых задач.

U Г = f(x,y)

- основное уравнение, где U = U(x,y) – функция, описывающая изменение температуры точек пластинки.

x

y

a

b

T = f4(x)

T = 0

T = f2(x)

T = 0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия Дирихле

3. U x = a = 0

1. U x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ a = f2(x)

(4.6)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = f4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b

x

y

a

b

q = φ4(x)

q = 0

q = φ2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия Неймана

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. 0 ≤ x ≤ a = φ2(x)

(4.7)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. 0 ≤ x ≤ a = φ4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b

Тепловой поток q – производная температуры U

Если грань теплоизолирована, то теплообмен отсутствует, т.е. q = 0

x

y

a

b

Т = ψ4(x)

q =0

Т = ψ2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x,y)

Краевые условия смешанной КЗ

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ a = ψ2(x)

(4.8)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = ψ4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b

На гранях № 1 и 3 – краевые условия Неймана

На гранях № 2 и 4 – краевые условия Дирихле

x

y

a

b

Т = f4(x)

q =0

Т = f2(x)

q =0

4

1

2

3

U=U(x, y)

Краевые условия смешанной КЗ

3. x = a = 0

1. x = 0 = 0

2. U 0 ≤ x ≤ c = f2(x)

(4.9)

0 ≤ y ≤ b

y = b

4. U 0 ≤ x ≤ a = f4(x)

y =0

0 ≤ y ≤ b

На гранях № 1 и 3 – краевые условия Неймана

На грани № 4 – краевое условие Дирихле

q =0

c

На грани № 2 – краевые условия Дирихле и Неймана

с ≤ x ≤ а = 0

y = b

Стационарные задачи, связанные с уравнениями эллиптического типа, являются наиболее важными, т.к. с ними связаны расчеты на прочность и устойчивость конструкций.

Например, задача о вдавливании абсолютно жесткого штампа в упругое подпространство.

x

y

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Для многочисленных задач МФ не существует универсального метода, пригодного для всех задач.

В курсах уравнений МФ изложен ряд методов, позволяющих для некоторых классов задач найти точное решение: метод распространяющихся волн, метод разделения переменных, метод функций источника и др.

Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида

Задачи для линейных уравнений, но в областях сложной формы

редко удается решить классическими методами.

Основным способом решения таких задач являются ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОД СЕТОК – обобщение Метода конечных разностей для случая многих неизвестных.

МЕТОД СЕТОК

4. Решая полученную алгебраическую систему, находят приближенное (разностное) решение в узлах сетки

3. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой.

2. Все производные, входящие в ДУ и краевые условия, заменяют разностями значений функции U(x,y) в узлах сетки.

АЛГОРИТМ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА

U Г = ψ(x,y)

Рассмотрим применение метода сеток для решения краевой задачи Дирихле в случае уравнения Пуассона (плоский случай).

(5.1)

(5.2)

x

y

G

Г

Предполагается, что среда сплошная и искомое решение U = U(x,y) не имеет особенностей.

1. В плоской области G строится сеточная область GК , состоящая из одинаковых прямоугольных ячеек и приближающая данную область.

x

y

G

Г

ИДЕЯ МЕТОДА СЕТОК

Сетка строится путем проведения системы равноотстоящих линий

yk = y0 +k ∙l, k = 0, 1, …, m

Конфигурацию узлов называют шаблоном.

Шаблон может прямоугольным, квадратным, треугольным.

Узлы сетки принадлежат области G или отстоят на расстояние, не превышающее h.

От выбора основного размера ячеек зависит точность решения.

Узлы называются соседними, если отстоят друг от друга на расстоянии h.

x

y

G

Г

Sh – множество всех узлов сеточной области.

Внутренние узлы - узлы, принадлежащие области G, а все четыре соседние – множеству Sh.

В противном случае – узел граничный.

Граничный узел 1-го рода – имеет в качестве соседнего внутренний узел.

Граничные узлы 1-го рода образуют множество узлов Гh

h

h

Rh = Вh + Гh

Вh

2. В качестве основных неизвестных выбираются значения искомой функции в узлах сетки

Ui k = U(xi, yk ) , i = 0, 1, ... n , k = 0, 1, ... m.

В каждом узле можно использовать конечно-разностные уравнения, обобщив их на случай частных производных

(5.3)

(5.4)

Для уравнения Пуассона ΔU = f(x , y) или

где fi , k = f(xi , yk ), i = 1, … n -1 , k = 1, ... m -1.

(5.5)

На основании краевых условий (5.2) устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области GК.

В граничных узлах 1-го рода

U (Гh ) = ψ (С ),

где С – ближайшая к Гh точка контура Г области G.

(5.6)

Rh = Вh + Гh

Количество неизвестных СЛАУ равно числу расчетных узлов Rh сеточной области GК (внутренние узлы + граничные узлы 1-го рода)

Система уравнений (5.5) и (5.6) всегда совместна, когда речь идет о решении задачи Дирихле.

Лишние неизвестные (Гh ) в системе (5.5) исключаются с помощью краевых условий (5.6).

4. Решив полученную систему уравнений, определяем приближенные значения искомой функции в узлах сеточной области GК.