Определение ряда и его суммы. (Лекция 2.15) презентация

13.1.1. Определение ряда и его суммы.

Пусть дана бесконечная последовательность
.
Определение. Выражение называется рядом, а числа - членами ряда.

Краткая запись . - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если задана функция

.

2) .

Иногда ряд задают рекуррентной формулой.
Пример.

Тогда и т.д.

. Обозначим частичной суммой ряда.

Образуем последовательность частичных сумм

Определение. Если существует предел последовательности
то ряд сходящийся и - его сумма.
Если последовательность не стремится к пределу, то ряд расходящийся.
Последнее имеет место в двух случаях:
1)
2) не существует

не существует.

сходится, то сходится ряд .
Доказательство.

2) Если ряды и сходятся, то сходится ряд

Доказательство.

3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, в котором выброшено конечное число членов.

то

Доказательство.

Если то ряд расходится.
Пример.

Ряд расходится.
Вообще стремление не означает сходимости ряда.

в виде



Новый ряд расходится.
Пример.

сравнения.

Рассмотрим ряд такой, что
Лемма. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху то ряд сходится.
Доказательство. т.к. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел

Если ряд сходится, то
Если ряд с положительными членами расходится, то

Тогда:
1) если сходится ряд (2), то сходится ряд(1);
2) если расходится ряд (1), то расходится ряд(2).
Доказательство. 1)

В силу леммы ряд (1) сходится.
2)
Признак справедлив, если условие (*) выполняется с какого-либо номера в силу 3-го свойства сходящихся рядов.

.


исходный ряд расходится.

то ряды (1) и (2) сходятся или
расходятся одновременно.
Доказательство. или

Пусть ряд (2) сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся
рядов сходится ряд и т.к.

следовательно ряд (1) сходится. Если ряд (2) расходится,
то в силу ряд (1) расходится.

Если существует предел то

при - ряд сходится,
при - ряд расходится,
при - ряд может сходится или расходиться.

.

Следовательно Тогда


т.е. Т.к. последний ряд есть бесконечно

убывающая геометрическая прогрессия, то исходный ряд
сходится.
Пусть и т.е. ряд расходится.

Применим признак д’Аламбера.


Ряд сходится.
2) Применим признак д’Аламбера.


О сходимости ряда ничего сказать нельзя. Необходимо применить другой достаточный признак сходимости.

то

при - ряд сходится,
при - ряд расходится,
при - ряд может сходится или расходиться.