Элементы математической логики. Логические функции Excel. (Лекция 6) презентация

истинно, если оно отражает действительное положение вещей. Примеры истинных суждений: «снег белый», «2´2 = 4», «театр - это искусство».
Суждение ложно, если оно противоречит истинному положению вещей. Примеры ложных утверждений - «2´2 = 5», «снег - черный», «Земля плоская».
Математическая логика - это дисциплина, изучающая технику математических доказательств.

«некоторые a суть b»  «все a не суть b»  «не все a  суть b» 

истинным или ложным.
а)«сумма чисел 2 и 5 равна 7» (истинное высказывание),
б) «2 + 5 = 7» — предыдущее высказывание, записанное с помощью математических символов,
в) «для всех значений x верно
неравенство   (ложное высказывание),
г) «завтра будет солнечный день» (может быть истинным или ложным).
Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – A, B и т.д.

»

квадрата есть прямой угол»;
«2x = 3y»;
«Число 5 делится на 2 без остатка»;
«x < 5»;
«У квадрата есть только один прямой угол»;
«a + b = 10»;
«Дважды два – четыре»;
«Пустое множество не имеет подмножеств».

получить новые с помощью логических связок – союзов «и», «или», « если…,то», «тогда и только тогда, когда»  и частицы «не». Такие предложения будем называть составными.
Предложения, не являющиеся составными, называются элементарными.
Соответственно, если можно судить об истинности или ложности таких предложений, то они будут называться простыми и составными высказываниями.

высказывания А и В, и ложное, если хотя бы одно из них ложно, называется конъюнкцией этих высказываний и обозначается А^В.
Высказывание «А или В», истинное, если истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложное лишь в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны, называется дизъюнкцией этих высказываний и обозначается А В.

А В

истинное лишь в том случае, когда высказывание А ложно и ложное лишь в том случае, когда высказывание А истинно, называется отрицанием А и обозначается .

(читается «если А, то В»), ложное лишь в случае, когда А истинно, а В – ложно.

(читается «А тогда и только тогда, когда  В»), истинное, в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны.

составленных из высказываний с помощью логических операций, называется алгеброй высказываний.
Пусть X, Y, Z– переменные, обозначающие элементарные логические высказывания или их значения истинности. Такие переменные будем называть логическими переменными.
С помощью логических переменных и символов логических операций можно формализовать любое логическое высказывание. Таким образом, логическое высказывание заменяется формулой, отражающей логическую структуру этого высказывания.
Например, высказывание «Число а делится на 6 тогда и только тогда, когда а делится на 2, и а делится на 3» формализуется в виде .

 (i – индекс, значения которого – натуральные числа) – символы для обозначения логических переменных,
2. И, Л – символы, обозначающие логические константы «истина», «ложь»,
3. - символы логических операций,
4. ( , ) – скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения логических операций.

формулы.
3.      Если   есть формула, то   есть формула.
4.      Если есть формулы, то , ,
, есть формулы.
5.      Никаких других формул в логике высказываний нет.

Если высказывание – составное, то для составления формулы требуется:
а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное высказывание,
в) заменить их соответствующими символами,
с) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

X – « число 500 делится на 3»,
Y –  «число 500 делится на 13».
Тогда данное сложное высказывание имеет вид

где x1, x2, x3 – аргументы
x1 - логическое выражение,
x2, x3 – любые выражения, разрешенные в Excel;
причем вычисляется x2, если x1 имеет значение ИСТИНА, и x3, если x1 имеет значение ЛОЖЬ.
Если третий аргумент функции не определен, то ошибки в записи функции нет – в этом случае ей присваивается значение ЛОЖЬ, если условие не выполнено. Если ничего не нужно вычислять при невыполнении условия, следует в качестве третьего аргумента задать пробел как текст.
Примеры: ЕСЛИ(A5>0;LN(A5);-1);
ЕСЛИ(B2<>0;1/B2;” ”)

x2;; …;xn – аргументы, являющиеся логическими выражениями.
Функция может содержать до 30 аргументов.
Функция И принимает значение ИСТИНА, если все ее аргументы истинны, в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ.
Функция может применяться для задания сложного условия, определяемого системой равенств и неравенств:

или, в форме логических высказываний,

где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным.

выражение. Ее значение ИСТИНА, если x имеет значение ЛОЖЬ, и наоборот.

x2;; …;xn –аргументы, являющиеся логическими выражениями.
Функция может содержать до 30 аргументов.
Функция ИЛИ принимает значение ИСТИНА, если хотя бы один из ее аргументов есть ИСТИНА, в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ.
Функция применяется для задания сложного условия определяемого совокупностью неравенств

или

где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным.