- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Затухающие колебания презентация
Содержание
- 1. Затухающие колебания
- 2. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы
- 3. Рассмотрим колебательную систему в которой помимо возвращающей
- 4. В проекциях уравнение принимает вид: Коэффициент затухания Квадрат собственной циклической частоты
- 5. Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
- 6. Для решения однородного ДУ
- 8. Решением ДУ является функция вида:
- 9. Следовательно, решением ДУ является функция, описывающая зависимость
- 10. Графически зависимость x(t) выглядит как гармоническое колебание с уменьшающейся амплитудой. Например:
- 11. Циклическая частота затухающих колебаний уменьшается по сравнению
- 12. При увеличении коэффициента
- 13. Практическое применение апериодического движения: Плавное закрытие
- 14. Амплитуда колебания со временем
- 15. Однако время релаксации можно определить и другим
- 16. Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды
- 17. Полную энергию можно найти, подставив выражение для
- 18. При малом затухании (β
- 19. Добротностью Q колебательной системы называется безразмерная величина,
- 20. При малом затухании: Добротность пропорциональная числу колебаний за время релаксации Ne.
- 21. В ряде случаев удобно изучать колебательные процессы
- 22. Фазовым портретом затухающего колебания является винтовая
- 23. 19. Вынужденные колебания. Резонанс
- 24. Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые
- 25. В качестве модели рассмотрим тело, совершающее колебания
- 26. Преобразуя, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (1):
- 27. Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний равно сумме
- 28. Подставим решение (2)
- 29. при косинусе при синусе (3) (4)
- 30. Решая совместно (3)
- 31. Амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает при приближении
- 32. Разность фаз между колебаниями силы и смещения
- 33. В области малых частот амплитуда вынужденных колебаний
- 34. Для нахождения резонансной частоты для
- 35. Форма резонансной кривой определяется добротностью колебательной системы.
- 36. Резонансная частота для амплитуды скорости находится аналогичным образом:
- 37. Резонансная частота для амплитуды ускорения
- 38. Приведем пример определения резонансной частоты для
- 39. Вычисляют резонансную частоту.
- 40. Явление резонанса необходимо учитывать при конструировании машин
- 41. Параметрические колебания Возбудить незатухающие колебания можно
- 42. В момент прохождения маятником равновесия, под действием
- 43. Автоколебания Восполнять убыль энергии можно
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. В этом случае могут возникнуть затухающие колебания.
Слайд 2Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит
к уменьшению энергии системы. В этом случае могут возникнуть затухающие колебания.
Слайд 3Рассмотрим колебательную систему в которой помимо возвращающей силы имеются силы сопротивления.
Запишем второй закон Ньютона для тела массой m.
Возвращающая сила является квазиупругой
Сила сопротивления пропорциональна скорости (b – коэффициент сопротивления)
Слайд 4В проекциях уравнение принимает вид:
Коэффициент затухания
Квадрат собственной циклической частоты
Слайд 6
Для решения однородного ДУ 2-го порядка запишем характеристическое уравнение и найдем
его корни (сведения из математики):
Слайд 8
Решением ДУ является функция вида:
где А0 и ϕ0 – начальные амплитуда
и начальная фаза соответственно.
Слайд 9Следовательно, решением ДУ является функция, описывающая зависимость координаты тела при затухающих
колебаниях:
где А0 и ϕ0 – начальные амплитуда и начальная фаза соответственно.
Функция удовлетворяет условию:
Слайд 10Графически зависимость x(t) выглядит как гармоническое колебание с уменьшающейся амплитудой. Например:
Слайд 11Циклическая частота затухающих колебаний уменьшается по сравнению с собственной частотой колебаний
системы:
Период колебаний увеличивается по сравнению с собственным периодом T0 :
Слайд 12
При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний возрастает и обращается
в бесконечность при β=ω0. Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется апериодическим движением.
Слайд 13Практическое применение апериодического движения:
Плавное закрытие дверей;
Амортизаторы автомобилей;
Успокоение колебаний
стрелочных приборов (воздушные, электромагнитные демпферы).
Слайд 14
Амплитуда колебания со временем уменьшается по экспоненциальному закону:
Промежуток времени, в
течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации:
Слайд 15Однако время релаксации можно определить и другим способом. Найдем производную функции
A(t) в начальный момент времени.
Время релаксации можно определить по касательной в в начальной точке. Пример: моделирование процессов релаксации (радиоактивный распад).
Слайд 16
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятиями декремента
δ (отношение амплитуд через период) и логарифмического декремента λ затухания:
Ne – число колебаний за время, равное времени релаксации.
Слайд 17Полную энергию можно найти, подставив выражение для смещения и скорости в
формулу:
Зависимость полной энергии от времени представлена на рисунке.
Слайд 18При малом затухании (β
вид:
Полная энергия колебательной системы уменьшается со временем по экспоненциальному закону.
Слайд 19Добротностью Q колебательной системы называется безразмерная величина, равная произведению 2π на
отношение энергии системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за период:
Слайд 21В ряде случаев удобно изучать колебательные процессы в системе координат (x,
v). Плоскость таких координат называют фазовой плоскостью, - а кривая – фазовой траекторией.
Например, фазовым портретом гармонического колебания является эллипс.
Например, фазовым портретом гармонического колебания является эллипс.
Слайд 22
Фазовым портретом затухающего колебания является винтовая линия (спираль).
1
2
3
С увеличением номера
рисунка растет коэффициент затухания.
Слайд 24Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на нее
внешних сил, периодически изменяющихся во времени.
Примеры вынужденных колебаний: колебания мембраны телефона, колебания силы тока в электрической сети, колебания гребных винтов, валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил.
Примеры вынужденных колебаний: колебания мембраны телефона, колебания силы тока в электрической сети, колебания гребных винтов, валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил.
Слайд 25В качестве модели рассмотрим тело, совершающее колебания под действием возвращающей квазиупругой
силы, силы сопротивления и внешней периодической силы. Второй закон Ньютона принимает вид:
Слайд 26Преобразуя, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (1):
(1)
β и ω0 – коэффициент
затухания и циклическая частота свободных незатухающих колебаний.
Слайд 27Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний равно сумме двух решений: общего и
частного:
Общее решение – уравнение затухающего колебания, частное – установившееся колебание, описываемое уравнением:
где А – амплитуда вынужденных колебаний смещения, ϕ – разность фаз между колебаниями смещения и силы.
(2)
Слайд 30
Решая совместно (3) и (4), находим амплитуду А установившихся вынужденных колебаний
и сдвиг фаз межу колебаниями силы и смещения:
Слайд 31Амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает при приближении к некоторой частоте –
явление резонанса колебаний. С увеличением коэффициента затухания амплитуда в колебаний при резонансе снижается.
Слайд 32Разность фаз между колебаниями силы и смещения определяется соотношением:
График зависимости угла
отставания колебаний смещения от силы представлен на рисунке. Увеличению номера соответствует увеличение коэффициента затухания.
Слайд 33В области малых частот амплитуда вынужденных колебаний почти постоянна, а сдвиг
фаз равен нулю:
В области малых частот колебания системы практически без искажения следуют за силой. Это важно с точки зрения измерительной техники.
Слайд 34
Для нахождения резонансной частоты для амплитуды колебаний необходимо найти максимум функции
А(ω), т.е. приравнять к нулю производную по частоте:
В результате, резонансная частота равна:
Слайд 35Форма резонансной кривой определяется добротностью колебательной системы. Так отношение амплитуд на
резонансной частоте и A0 равно добротности:
Добротность равна отношению резонансной частоты к ширине резонансной кривой на уровне 0,7Aрез.
Слайд 37
Резонансная частота для амплитуды ускорения определяется соотношением
Для анализа частотной зависимости
амплитуды ускорения необходимо исследовать функцию:
Слайд 38
Приведем пример определения резонансной частоты для амплитуды смещения. Для этого находят
частоты, на которых амплитуды одинаковы.
Слайд 40Явление резонанса необходимо учитывать при конструировании машин и сооружений. Резонансная частота
не должна быть близка к внешней частоте.
Явление резонанса используется в акустике, радиотехнике, в науке и технике.
Слайд 41Параметрические колебания
Возбудить незатухающие колебания можно и другим способом – периодическим изменением
в такт с колебаниями системы одного из параметров системы. Например, с помощью периодического изменения длины маятника. Подобные колебания называются параметрическими.
Слайд 42В момент прохождения маятником равновесия, под действием силы уменьшается длина маятника.
В результате угол отклонения увеличивается. Таким образом, под действием внешнего воздействия (изменения длины маятника) поддерживаются незатухающие колебания.
Слайд 43Автоколебания
Восполнять убыль энергии можно за счет поступлений энергии из вне в
определенные моменты времени (согласованно). Можно сделать так, чтобы колеблющая система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые незатухающие колебания – автоколебаниями.
Примеры: колебания маятника в часах, ламповый генератор.
Примеры: колебания маятника в часах, ламповый генератор.
