Уравнения Шредингера. Движение свободной частицы презентация

- волновая функция частицы

Стационарное уравнение Шредингера:

При U=U(x) и Umax=∞ - одномерная потенциальная яма бесконечной глубины.

Одномерное движение в потенциальной яме вдоль оси Х.
Из ямы частица выйти не может.

U =∞ при х < 0 и х > а - вне потенциального ямы
U = 0 при 0 ≤x ≤ а - внутри потенциального ямы

1. Яма бесконечно глубокая, выйти из неё частица не может, => вероятность обнаружить частицу вне ямы равна нулю → Ψ = 0 вне ямы.

2. Из непрерывности Ψ-функции и условия 1 → на границах ямы с бесконечно высокими стенками Ψ обращается в нуль, т. е. Ψ(0) =Ψ(а) = 0.

В областях I, II и III разные решения уравнения:

2. В области II U(x) = 0 и уравнение Шредингера принимает вид:

→

(1)

при х=a Ψ(х=a)=0= Аsin ka => sin ka=0 и ka=±nπ, где n=1, 2, …

=> k= ± nπ/a

(2)

→

(3)

→ энергия микрочастицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений (квантуется)

Результат имеет общее значение: при движении микрочастицы в ограниченной области пространства ее энергия может принимать только дискретный ряд значений.

Внутри потенциального ящика :

(4)

Для нахождения А воспользуемся условием нормировки Ψ:

среднее значение

=>

Внутри потенциального ящика

(5)

Из рис.: n=1 (при Е1) макс. вероятность нахождения частицы в середине ящика. При Е2 вероятность нахождения частицы в середине ящика равна нулю, максимальная - в точках ¼ а и ¾ а.

С ростом уровня энергии: число максимумов |Ψ|2 растет, максимумы сближаются.
При n→∞ максимумы сливаются в прямую линию, как у макрочастицы.

Расстояние между любыми уровнями энергии

При 2n >>1 2n+1≈2n и

(6)

При увеличении а расстояние между соседними уровнями уменьшается и при а→∞ (частица в свободном пространстве) ΔΕ=0 →
энергия частицы может принимать любые значения и не квантуется.

3. Вероятность пребывания частицы в различных точках ямы в состояниях с разной энергией разная.

2. Энергия не равна нулю даже на наименьшем энергетическом уровне при n = 1.

Энергия микрочастицы в потенциальной яме дискретна.

4. Квантование энергии Еn и вероятности состояний |Ψ|2 сильнее проявляются при малой массе частицы и малых размерах ямы.

Модель частицы в бесконечной глубокой потенциальной яме описывает поведение электронов в металле, протонов в ядре: микрочастица не может выйти за границы некоторой области, внутри области частица свободна.

U(х) = 0 при х < 0 (область I) U0 при 0 ≤ х ≤ а (область II)
0 при х >а (область III)

Пусть микрочастица движется вдоль оси Х. Если Е>U0, частица проходит над барьером и попадает из I в Ш.
Одинаково в классической и квантовой механике.

Если Е
Результат, даваемый квантовой механикой ?

Из решения уравнений следует:

1. В области I будет плоская волна, распространяющаяся в направлении оси Х (соответствует частице, движущейся к барьеру), и волна, отраженная от барьера, (соответствует частице, движущейся от барьера).

2. В области II даже при Е

3. В III (если барьер не очень широк) будет волна, прошедшая сквозь барьер (слева-направо), имеющая частоту, что в I, но меньшую амплитуду.

При конечной ширине барьера на 2-границе Ψ2(а)≠0. => Есть вероятность (≠0) оказаться в III.

В I и Ш λ1=λ3 (ν1= ν3), Е не меняется, меняется амплитуда ψ-функции.

Вероятность найти частицу в Ш меньше, чем в II, т.к. у частицы существует вероятность отразиться от границы х=а, есть и вероятность ~ |Ψ|2, пройти границу а и оказаться в Ш.

ВЫВОД: квантовая частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения через потенциальный барьер конечной ширины и в том случае, когда ее энергия меньше высоты барьера (Е

Вероятность тем больше, чем меньше ширина барьера.

D – прозрачность потенциального барьера

I~А2

определяет вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер.

Прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 и шириной а:

D0 – постоянный множитель, близкий к единице

Туннельное прохождение через потенциальный барьер лежит в основе явлений ФТТ (явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (α-распад, протекание термоядерных реакций).

Пример:

пружинный маятник

- циклическая частота собственных колебаний осциллятора

(1)

Квантово-механический аналог пружинного маятника – колебания атомов в молекулах.

Поведение атома опишем стационарным уравнением Шредингера

(2)

При n=0

энергия нулевых колебаний (нулевая энергия) – минимальная энергия квантового гармонического осциллятора

Е0 ≠0, в том числе при Т=0 К.

Энергетические уровни линейного гармонического осциллятора

→ осциллятор имеет дискретный спектр значений энергии, расположенных на одинаковых энергетических расстояниях друг от друга:

(4)

Изучение рассеяния света кристаллами (на колеблющихся атомах, молекулах и ионах, расположенных в узлах кристаллической решетки) при T ≈ 0 К подтверждает существование нулевого уровня.

Плотности вероятности |Ψ|2 разных уровней n отличаются.

При Z>1 такую систему называют водородоподобным ионом (Z=1 эта система - атом водорода).

Потенциальная энергия зарядов Ze и -e, находящихся в вакууме на расстоянии r

График U (r)

Состояние электрона в атоме является стационарным :

m – масса электрона, Е – его полная энергия

Кулоновское поле центрально-симметричное → движение электрона рассматривают в сферической системе координат.

Точка А в сферической системе имеет координаты r, φ, θ, связанные с х, у, z :

x = r·sinθ·cosφ
y = r·sinθ·sinφ
z = r·cosθ

Ψ=f (r, φ, θ)

Оператор Лапласа в сферических координатах :

Ф(θ,φ) - функция углового распределения.

решение при любых Е > 0 (свободный электрон) и при Е < 0 (электрон в атоме), удовлетворяющих условию:

n = 1, 2, 3, …

(2)

главное квантовое число

Вывод: существуют стационарные состояния атомов, характеризуемые определенной энергией.

Е<0 движение электрона является связанным.

l = 0, 1, 2, …, (n-1)

m= 0, ±1, ±2, …, ±l

орбитальное (азимутальное) квантовое число

магнитное квантовое число

l определяет момент импульса электрона (орбитальный момент импульса):

m определяет проекцию момента импульса электрона на направление Z внешнего магнитного поля:

ВЫВОД:
Модуль Lе электрона в атоме и его ориентации в пространстве квантуются.

Возможная ориентация вектора Lе для d-состояния
(l = 2, m = 0,±1, ±2)

Если задано n, то число состояний :

(3)

→в случае одномерной потенциальной ямы появляется одно n

Решение уравнения :

Из уравнения Шредингера → состояние электрона в атоме характеризуют квантовые числа n, l, m

→ Электрон в атоме может иметь одно значение энергии, находясь в различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергий называют вырожденными.

Кратность вырождения энергетического уровня - число состояний с одинаковой энергией .

Число состояний, соответствующих данному значению n равно n2

Состояния с различными l различаются величиной Lе.

(в атомной физике)

ℓ = 0 1 2 3 …

состояние s p d f …

Состояние 1s – основное состояние электрона в атоме «Н».
Атом имеет минимальную энергию.

1. Электрон в атоме находится в f-состоянии. Орбитальный момент импульса Lе электрона равен …

1.  2.  3.  4.