Упругость изотропных сред презентация

Картина изменения окружения
выделенной частицы жидкости

Из-за легкой смены соседей
любые 2 близкие частицы
могут разойтись со временем
на произвольно большое
расстояние. Обычное в механике
определение положения с помощью
радиус-вектора становится неудобным.

Поэтому вектор перемещения частицы Δr в качестве меры изменения
ее местоположения не пригоден. Единственной удобной для
использования кинематической характеристикой в гидродинамике
оказывается скорость частицы v (Лагранж) или скорость частиц v в данной
точке пространства (Эйлер).

Основные опытные факты

Непреложным является факт изменения телами объема и формы под влиянием поверхностных нагрузок (поверхностно-распределенных сил), массовых сил (действуют на единичный объем тела), нагрева и охлаждения. Это свойство тел, выведенное a posteriori (из опыта), называется деформированием (дословно "изменением формы, вида").

Если деформация тела не превышает некоторый предел, то при медленном снятии внешних воздействий тело возвращается в исходное недеформированное состояние, а при мгновенном – совершает колебания относительно равновесного положения, которые со временем затухают по причине внешнего или внутреннего трения. Эта способность деформируемых твердых тел восстанавливать свою форму, было названа упругостью.

Тело трактуется как трехмерное евклидово пространство, точки которого
совпадают с частицами тела. Распределение массы тела по
точкам-частицам характеризуют плотностью ρ в данной точке, под
которой понимается предел отношения массы ΔM в элементарном
объеме ΔV, к этому объему при его стягивании в точку

Обычные требования – среда однородна (ρ=const) и изотропна.

Концепция сплошности. Вещество непрерывно распределено по
объему тела и такой характер его распределения сохраняется при
деформировании. Реальная атомно-молекулярная структура
вещества игнорируется.

u=r′−r

вектор (упругого) смещения. Задача теории упругости
заключается в определении зависимости u=u(r)

В теории упругости по причине появления более сложных, чем
векторы, объектов – тензоров, предпочитают запись в координатной
форме

Т.к. u=u(r)

Так как

– направляющие косинусы
элементарного отрезка

Диагональные компоненты тензора деформации показывают
относительные удлинения элементарного отрезка вдоль
соответствующей оси

Сумма диагональных компонент тензора деформации определяет
относительное изменение элементарного объема среды

Пусть dr(1)||x1, dr(2)||x2, так что ϕ=π/2 и cosϕ=0. При этом nk(1)=δk1, nj(2)=δj2

B силу малости деформаций (π/2)−ϕ'<<π/2 можно принять cosϕ′=sin[(π/2)−ϕ']≈ (π/2)−ϕ'. В итоге

Недиагональную компоненту тензора деформации u12 можно
рассматривать как половину углового поворота β' линейных элементов dr(1) и dr(2) вследствие деформации тела

β′/2

2. Тензор напряжений

Деформация – выражает отклонения частиц (молекул) от равновесия

к силе реакции, восстанавливающей равновесие. Имеет молекулярное
происхождение. Силы реакции, распределенные по деформируемому
объему, – внутренние напряжения или просто напряжения.

Передача силовой реакции напряжениями с одной части тела на
другую происходит по разграничивающей эти части поверхности.
Напряжения – силы распределенные по поверхности. Их соотносят
к единице площади поверхности

Задание требует указания 3-х
компонент вектора силы и ориентации
вектора нормали к элементу dS .
Математически напряжение – объект
более сложный, чем вектор. В общем
случае напряжение в данной точке
среды можно представить набором
из 9 элементов в виде матрицы
размером 3×3

– результат действия
внешней силы F

и F должны быть связаны между
собой

F dV – сила, действующая на элемент объема тела

F – сила, действующая на единицу объема тела

– результирующая сила

При наличии массовых сил f , добавляющихся к силам упругости,
необходимо сделать замену F→ F− f . Например, для силы тяготения
в пересчете на единицу объема f=ρg, что дает

или в равновесии

В динамике единичный объем деформируемого тела может
ускоряться. Тогда

дает

Уравнение
движения

Требование непрерывности смещений заменяется условием
непрерывности скоростей смещений.

Исходным является I-ое начало термодинамики dQ=dU+dA

dQ=TdS

dA определяется по аналогии с механикой:

dA=Fdx

Знак «минус» берется потому, что
напряжения – это силы реакции

Внутренняя энергия U системы только частью связана с
деформированием. Чтобы вычленить из нее энергию теплового
(хаотического) движения молекул нужно перейти к свободной
энергии F=U−TS (T − температура)

2) В разложении F по степеням отсутствует линейный член
(в противном случае F – скалярная по определению величина, -
зависела бы от знака деформации <растяжение – сжатие были
бы энергетически не эквивалентны>)

λ и μ – коэффициенты Ламе. С учетом равенства

получаем

закон Гука

4. Основные виды деформаций

1) Всестороннее сжатие

P

P

P

P

P

нет изменения формы

деформация

Закон Гука

(граничное условие)

0

– однородные деформации

d

Отличная от нуля компонента напряжения :
(граничное условие; на боковой поверхности
напряжения равны нулю)
Условию пропорциональности придают вид ν − коэффициент Пуассона)

Закон Гука:

E − модуль
Юнга

Всегда K>0 и обычно
0<ν<1/2

Пены (90-ые годы) имеют ν<0. У резины ν≈1/2

Тогда закону Гука

можно придать вид

4) Сдвиг и кручение

z

x

x

M

- крутильная жесткость

F

M

I – момент инерции поперечного сечения элемента относительно оси,
проходящей через центр масс сечения

x

dx

Используем уравнение движения

и закон Гука

имеет такую же форму, как и для статических (изотермических) деформаций, но с адиабатическими коэффициентами упругости

μ - одинаковые, K – разные:

Т – абсолютная температура
α − коэффициент теплового расширения.

− изобарическая теплоемкость единицы объема

Условие быстроты процесса: отсутствие заметного теплообмена
за время τ~2π/ω

Волновое уравнение
для поперечных волн

ω

k

В случае гармонических волн f − тригонометрические функции sin, cos.
Требуется обезразмерить аргумент

− волновые векторы, ω − частота

− волновые числа

− экспоненциальная форма представления

c

плоские монохроматические волны

Специфика для упругих изотропных сред: 2 типа волн, поляризация,
граничное сцепление волн (следствие граничных условий), отсутствие частотной дисперсии (отсутствие осложнений с отбором решений ввиду
совпадения лучевых и фазовых скоростей волн)

I

T

1

1

2

y

x

Граничные условия:
формулируются для точек границы, разделяющей среды 1, 2,
в терминах результирующих упругих смещений

должны совпадать

обобщенный закон рефракции

В отраженной волне (того же типа поляризации, что и падающая волна)

− обычный закон отражения

SV-тип

SH-тип

При отражении не меняет
поляризацию. Полное
отражение от свободной
границы твердого тела

L

L

T

Картина отражения L-волны

θ

θT

x

y

− волновая нормаль отраженной T- волны

− правая тройка векторов

Закон Гука