Упругие волны в твердом теле. Теория упругости презентация

смежными элементами на бесконечно малом участке площади σ = d F/d S

σn = dFn /d S σt = dFt /d S
Fn проекция на нормаль к S
Ft проекция на плоскость касательную к S

n = 1,2,3

в которой тензор упругих напряжений является диагональным.

Пуассона
σ = Eε εn = μ ε

n + γ t

E/2(1 + μ)

11 → 1
12, 21 → 6
13, 31 → 5
23, 32 → 4

С1122 → С12
С1123 → С14

ионов. Квантово-механическое описание движения и энергетических параметров этих взаимодействующих друг с другом частиц представляет значительные трудности из-за огромного количества этих частиц.
Для преодоления сложностей, возникающих при описании большого количества взаимодействующих частиц, была предложена концепция квазичастиц. В основе этой концепции лежит попытка описать твердое тело в виде суммы независимых друг от друга согласованных движений многих (или даже всех) составляющих это тело частиц.

un-1) + f ·( un+1 - un)
M·d2 un /dt2 = f ·( un+1 + un-1 - 2 ·un)

u(x,t)=A·exp(i(kx-ωt))

un=A·exp(i(kan-ωt))

-Mω2 = - f ·{2 - exp(-ika) - exp(ika)} = - 2 ·f ·{1- cos(ka)} = 4·f ·sin2(ka/2)

ω2 =4·( f / M) ·sin2(ka/2), -> ω =ωmax ·|sin(ka/2)|

ω max =2·( f / M)1/2

k + 2πm/a

Квазичастицы фононы

λ = 2π /k

λmin = 2a

λmax = ∞

n` ионами с массой m , так чтобы M > m.
Расстояние между одинаковыми ионами а. Коэффициент квазиупругой силы между ионами находящимися в узлах n и n` f1 , а между ионами n и n`-1 f2.

un`-1) + f1 ·( un’ - un)
m·d2 un` /dt2 = - f2 ·( un` - un+1) + f1 ·( un - un`)

un = A exp(i(kan - ωt )) un-1 = un exp(-ika) un` = B exp(i(kan - ωt )) un+1 = un exp(ika) un` = (B /A) un

-A · (ω2 - ( f2 + f1 ) / M )= B· ( f1 + f2· exp(-ika))/ M
-B · (ω2 - ( f2 + f1 ) / m )= A · ( f1 + f2· exp(ika))/ m

f1 ) - Mω2 )
=(( f2 + f1 ) - mω2 )/( f1 + f2· exp(ika ))

пусть ω02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)

ω 21,2 = (ω02/2)(1 ±{1 - 16( f2 f1 /ω04 )sin2(ka/2)}1/2

/( M + m)}2 { f2 f1/(f2 + f1 )2} = γ2

ω21 = (ω02/2)(1 - {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

ω22 = (ω02/2)(1 + {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

-π/a

ω1(0) = 0; акустические фононы
ω1(π/a) = (ω0/√2)(1-(1-γ2)1/2) 1/2

ω2(0) =ω0; оптические фононы
ω2(π/a) = (ω0/√2)(1 + (1-γ2)1/2) 1/2

ω2(0) =ω0 >ω2(π/a) > ω1(π/a) > ω1(0)

/ un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - Mω2)

ω1 (0)=0 un / un’ = 1

ω21 = (ω02/2)(1 - {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

ω22 = (ω02/2)(1 + {1 - γ2sin2(ka/2)}1/2)

В окрестности k=0

ω1 ≈ 0,25ω0γka ≈ k

/ B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - Mω2)

un / un’ =(f1 + f2) /((f2 +f1 )- Mω02) =
(f1 + f2) /((f2 +f1 )- (f2 +f1 )( M + m)/( m)) =
 =1/(1 - ( M + m)/ m) = - m/M

un M + un’ m = 0

ω02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)

1/2

λmin = 2a

области сжатия и растяжения
Изменяется плотность заряда

Изменяется распределение потенциала V и потенциальная энергия эл-на. e
W(x) = - eV(x)

Появляется
Электрическое поле
E = -dV/dx

Бегущая эл. волна!!!

полупроводниках
бегущая со скоростью
звука модуляция Eg

Затухание акустической
волны

с энергией ωq и импульсом ωq/vзв

Поток энергии W=nq vзв ωq
Поток импульса p=W/ vзв =nq ωq

Электроны получают импульс
γ Wdx / vзв ≡ ne dx

ne dx = eEne dx

E= γ W/ enevзв = γ μW/ σ vзв

то пойдет ток