Упругие напряжения и обратимые деформации. (Лекция 10) презентация

Действие части А в точке O на часть В можно представить вектором силы δP и в общем случае вектором момента δM.

δА – элементарная площадка, содержащая точку О

(1)

Тензор напряжений

(3)

(4)

(5)

n1,n2,n3 – направляющие косинусы нормали

(6)

Повторяющийся индекс (i) называется немым (подставным); по нему идет суммирование. Неповторяющийся индекс (j) называется свободным

Сравниваем (21) и (22):

(23)

Тензор относительной деформации точки Q относительно точки P или тензор дисторсии Компоненты этого тензора есть функции координат и времени!

Симметричная часть:

Тензор малых деформаций Коши

(23)

(24)

(25)

Тензор малых поворотов

(26)

(27)

(28)

(29)

…….

(13)

Шаровой тензор

Девиатор тензора деформаций

Тензор малых деформаций, по определению, симметричен!

Условие несжимаемости для деформируемой среды

МЖГ:

(34)

Компоненты вектора скорости

(35)

(36)

Идеальная упругость – однозначная зависимость между силами и вызванными этими силами перемещениями

Для огромного большинства материалов закон упругости с большой точностью можно считать линейным

модуль упругости

Закон Гука

Закон упругости справедлив, пока напряжения не достигнут некоторого предела, называемого пределом упругости

Для всех материалов, применяемых в технике (кроме резины и каучукообразных полимеров), модуль упругости весьма высок по сравнению с пределом упругости, поэтому величина упругой деформации невелика – не более 1-2 %

(41)

(42)

Тензоры напряжений и деформаций обладают рядом интересных свойств. Рассмотрим некоторые из них

После деформации точки сферы будут иметь координаты:

и окажутся на поверхности, описываемой следующим уравнением

т.е., уравнение сферы переходит в уравнение эллипсоида, если все главные значения тензора деформаций – различны. Если главные значения – одинаковы, то сфера переходит в сферу.

В теории показывается (обычными средствами математического анализа), что точки, лежащие на одной прямой до деформации, после деформации также расположатся на некоторой прямой; параллельные прямые останутся параллельными и тд.

Как перейти от (1) к термодинамической системе в целом? Введем гидродинамической давление по формуле

(1)

Известно (для малых деформаций):

(2)

Если - шаровые тензоры, то

(3)

Как мы уже знаем, если имеется уравнение Гиббса, то имеет место система УРС:

(5)

(6)

(7)