Тепловое излучение. (Тема 33) презентация

Самым распространенным является
тепловое излучение,
при котором излучение
электромагнитных волн происходит
за счет внутренней энергии тел.

Все остальные виды свечения,
возбуждаемые за счет любого вида
энергии, кроме внутренней (тепловой),
объединяются под общим термином
«люминесценция»:
хемилюминесценция,
электролюминесценция,
катодолюминесценция,
фотолюминесценция.

Окружим излучающее в вакууме тело оболочкой
с идеально отражающей поверхностью.

Излучение тела отражается оболочкой , падает на
тело, поглощается им (частично или полностью), а
затем опять переизлучается телом.
То есть происходит непрерывный обмен энергией
между телом и излучением, заполняющим полость.

Если распределение энергии между телом и излучением не изменяется с
течением времени (сколько энергии излучается телом в единицу времени,
столько же и поглощается) для каждой длины волны, то состояние
системы тело-излучение будет называться равновесным.
Единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии
с излучающими телами, является тепловое излучение.

Допустим, равновесие между излучением и телом
нарушено: тело излучает больше, чем поглощает.
Тогда внутренняя энергия тела будет убывать,
а вместе с ней и температура.

Уменьшение температуры, в свою очередь, обусловит
уменьшение излучаемой телом энергии.
Температура тела будет понижаться пока количество излучаемой телом
энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии.

Если равновесие нарушится в другую сторону,
т.е. количество излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой,
температура тела станет возрастать до тех пор,
пока равновесие снова не восстановится.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности
излучаемого тела по всем направлениям
(в пределах телесного угла ),
называется энергетической светимостью тела.

Энергетическая
светимость является функцией температуры.

Излучение состоит из волн различных частот
При малом интервале излучаемых частот
поток, излучаемый в этом интервале частот
пропорционален ширине этого интервала, т.е.

Величина
называется испускательной способностью тела.

Энергетическая светимость некоторого тела может быть выражена через
его испускательную способностью очевидным соотношением

Участку спектра будет соответствовать
определенный интервал длин волн

Доля энергетической светимости для
может быть представлена в виде

Часть потока будет поглощена
телом. Остальная часть будет пропущена
телом или отражена от его поверхности.

Безразмерная величина

называется поглощательной
способностью тела.

Для тела, полностью поглощающего упавшее
на него излучение всех частот
Такое тело называется абсолютно черным.

Тело, для которого
называется серым телом.

Поскольку температура (а следовательно, и
энергия) в состоянии теплового равновесия у
тел не меняется, то тело, испускающее больше
энергии, должно и больше поглощать, то есть
излучательная и поглощательная способности
тела должны быть связаны между собой.

Кирхгоф установил закон согласно которому,
отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от
природы тела, оно является для всех тел одной и той же (универсальной)
функцией частоты и температуры тела:

Не следует путать испускание лучей
с их отражением поверхностью тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального
состава равновесного теплового излучения используют функцию

В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией
Обе функции связаны между собой так же как и

Такое устройство представляет собой почти
замкнутую полость с малым отверстием.
Излучение, проникшее внутрь полости через
отверстие, многократно отражается от стенок
полости и почти полностью поглощается ими.

Согласно закону Кирхгофа
испускательная способность
такого устройства близка к
универсальной функции
Кирхгофа при температуре
стенок полости.

Если поддерживать температуру стенок полости, то из
отверстия выходит излучение абсолютно черного тела,
соответствующее температуре стенок полости.

Излучение внутри полости будет находиться в равновесии с веществом (стенками полости).

В равновесном состоянии энергия излучения
будет распределена в объеме полости с
определенной плотностью

Спектральное распределение энергии можно охарактеризовать функцией
определяемой условием
доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот

Полная объемная плотность энергии
связана со спектральной объемной плотностью энергии
очевидным интегральным соотношением

Рассмотрим две полости, стенки которых
изготовлены из разных материалов и в
начале имеют одинаковую температуру.

Предположим, что равновесная плотность
энергии в обеих полостях различна.
Для определенности пусть

Тогда поток энергии из полости А в полость B будет больше встречного.
В результате стенки полости B станут поглощать больше энергии,
чем излучать, и температура их начнет повышаться.
Напротив, стенки полости А станут поглощать меньше, чем излучать,
и их температура будет уменьшаться – они охлаждаются.

Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут в
результате только теплообмена приобрести различные температуры – это
запрещено вторым началом термодинамики, поэтому

Вывод о равенстве и
распространяется на каждый компонент
спектра излучения

Поясним полученный результат следующим образом.
Абсолютно черные стенки поглощают падающий поток
полностью и излучают такой же поток.

Стенки с поглощательной способностью
поглотят долю упавшего потока энергии
а отразят долю .
И излучат поток, равный поглощенному, т. е.

В итоге произвольные стенки полости вернут в
излучение такой же поток, как и абсолютно черные.

В случае равновесия через каждую точку внутри
полости будет проходить в любом направлении
поток излучения одинаковой плотности (изотропия).

Если бы излучение распространялось только в
одном направлении, то плотность потока энергии

Для каждой точки внутри полости плотность потока энергии
равномерно распределена в пределах полного телесного угла
Следовательно, в пределах элементарного телесного угла
будет течь поток энергии, плотность которого будет

По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла
площадка
излучает в полупространство поток энергии

Поток энергии, испускаемый элементарной площадкой можно выразить
через энергетическую светимость:

поток энергии

Экспериментальную константу
называют постоянной Стефана – Больцмана.

Немецкий физик Вильгельм Вин (в 1893 г. связав термодинамику и
электромагнетизм ) показал, что универсальная функция Кирхгофа (спектральное распределение плотности потока
энергии излучения абсолютно черного тела)
должна быть пропорциональна кубу частоты

Анализируя это соотношение Вин пришел к выводу, что длина волны
на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела
обратно пропорциональна температуре тела (закон смещения Вина):

– постоянная смещения Вина.

Уравнения волн имеют вид

На границах наблюдаются либо узлы стоячей волны
(закрепленная на концах струна)
либо пучности стоячей волны (закрепленный в середине стержень)

Произведем сложение колебаний для случая пучностей

При x=0 очевидно наблюдается пучность.
Чтобы пучность наблюдалась и на второй границе, необходимо наложить
ограничение на волновое число, а именно должно выполнятся условие

Пусть существуют две волны:

Разность чисел
модули волновых векторов которых лежат в пределах

Модуль волнового вектора связан с частотой волны и ее скоростью

Мы получили число стоячих
частоты которых лежат в элементарном интервале от

дает число стоячих волн

(число мод колебаний),

до

Отражение волны (2) от верхней границы
приведет к возникновению волны (3)
с волновым вектором
Наконец, отражение волны (3) от левой границы
приведет к появлению волны (4) с волновым вектором

Другие волны не возникают. Отражение волны (1) от верхней границы
даст волну (4), отражение волны (2) от левой границы даст волну (1),
отражение волны (3) от нижней границы даст волну (2),
волны (4) от нижней и правой границ области даст волны (1) и (3).
Итак, произвольная плоская волна в двумерной области
вызовет появление еще трех за счет отражений.

(1) (2)

(3) (4)

Уравнения бегущих волн для случая пучностей на границах
(фаза волны не меняется при отражении) имеют вид

Сложив попарно эти уравнения, получим

на оси

и

бежит вдоль оси
а ей навстречу волна
Амплитуда обеих волн меняется вдоль
по гармоническому закону.
Сумма этих волн дает двумерную стоячую волну:

Из этого уравнения следует, что амплитуда максимальна в точке
Чтобы она была максимальна и в остальных вершинах:
необходимо выполнение условий:

Волна

оси

Модуль волнового вектора всех четырех бегущих
волн, наложение которых приводит к
стоячей волне, одинаков и равен

Волновым векторам 4-х бегущих волн соответствуют
на k-плоскости четыре симметричные точки.
Все эти точки отвечают одной и той же стоячей волне.
Поэтому при подсчете числа стоячих волн нужно учитывать только точки,
расположенные в одном из квадрантов k-плоскости, например первом.

Точки, соответствующие всевозможным стоячим волнам,
имеют координаты, меняющиеся с шагом

На долю каждой стоячей волны приходится на k-плоскости площадь,
равная

и

- площадь двумерной области.

где

Тогда, плотность точек на k-плоскости

Число стоячих волн
у которых модуль волнового вектора лежит
в пределах от
равно числу точек, попадающих в область,
заключенную между четвертями окружностей
радиусов

– число стоячих волн в интервале частот от

до

и

То есть

где,

до

Проекции волновых векторов бегущих волн равны:

(1) (5)

(2) (6)

(3) (7)

(4) (8)

Уравнения бегущих волн имеют вид:

Складывая эти уравнения попарно, и, вынося общие множители, получим

В k-пространстве каждой стоячей волне отвечает точка в первом октанте.
На долю каждой точки приходится фазовый объем

Тогда, плотность точек в k-пространстве будет равна

Число стоячих волн, у которых модуль волнового вектора лежит
в пределах от
попадающих во внутрь
радиусом

до

равно количеству точек,

и толщиной

шарового слоя

Вдоль заданного направления могут распространяться две волны одной
частоты, но различающиеся направлением поляризации.
Чтобы это учесть необходимо выражение
для объемной плотности колебательных мод
стоячих волн в полости умножить на два.

пропорционально

полости, в которой возбуждена

Удобно перейти к числу

Они предположили, что на каждую колебательную моду приходится в среднем энергия половинка на электрическую, а другая – на магнитную энергию волны.

Равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих
волн, для которых объемная спектральная плотность
колебательных мод определяется выражением

Тогда, объемная плотность энергии, приходящаяся
на элементарный интервал частот

равная двум половинкам

– одна

будет равна:

но удовлетворительно согласуются с
экспериментальными данными лишь при
больших длинах волн и резко расходятся
с опытом для малых длин волн.

Интегрирование
от до
энергии

Этот результат получил название ультрафиолетовой катастрофы.

по всем частотам

дает для равновесной плотности

бесконечно большое значение:

Поэтому расхождение этой формулы с опытом
указывает на существование каких-то основных
закономерностей, несовместимых с классическими
представлениями.

В 1900 г. Планку удалось найти вид
функции соответствующий
опытным данным.

Для этого ему пришлось сделать
предложение чуждое классической
физике – допустить, что тепловое
излучение происходит в виде квантов,
энергия которых пропорциональна
частоте излучения:

где

В состоянии термодинамического
равновесия распределение мод
колебаний по значениям энергии
должно подчиняться закону
Больцмана.

Число мод колебаний частоты
обладающих энергией

Множитель
найдем из условия нормировки

то его энергия

равно:

Зная вероятности различных значений
энергии колебаний заданной частоты,
можно найти среднее значение энергии
для данной колебательной моды, а именно

равно:

равна

Чтобы произвести вычисления, введем обозначение
и допустим, что

Под знаком логарифма стоит сумма
членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
с первым членом

определим зная вероятность всех возможных энергий:

может изменяться непрерывно. Тогда,

и знаменателем прогрессии

Подставим найденную сумму в формулу для

При

Таким образом, если бы энергия могла принимать
непрерывный ряд значений, то

и продифференцируем

При этих условиях