Тепломассообмен. Теплопроводность презентация

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Тепломассообмен – необратимый самопроизвольный процесс распространения в пространстве теплоты или массы одного из компонентов вещества относительно другого.
Существуют три механизма передачи теплоты - «простой» теплообмен:
- теплопроводность (Т) или кондукция,
- конвекцию (К),
тепловое излучение (Л) или радиация.
Теплопроводность характерна для твердых тел, конвекция – для жидких и газообразных, излучение – для поверхностей, разделенных лучепрозрачной средой. Если в теплообмене участвует более чем одна составляющая, то такой теплообмен называется «сложным», например, теплопроводность и конвекция; конвекция и излучение; теплопроводность, конвекция и излучение.

Перенос массы происходит следующими способами:
- диффузией,
- конвекцией.
В реальных процессах процессы теплообмена и массообмена обычно сопутствуют друг другу. Теплопроводность и конвекция всегда связаны с переносом массы примеси (диффузией), т.е. имеет место сложный тепломассообмен.
Значительный вклад в создание и развитие теоретических и практических основ тепломассообмена внесли такие известные Российские ученые как М.В. Кирпичев, М.А. Михеев, А.А. Гухман, А.В. Лыков, Г.М. Кондратьев, С.С. Кутателадзе, С.Н. Шорин, Л.С. Эйгенсон, В.Н. Богословский и др. Благодаря их трудам сформировалась отечественная школа тепломассообмена.

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ

В общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью сопровождается изменением температуры в пространстве и во времени. Для описания пространственно-временного распределения температуры вводится понятие температурного поля. Температурным полем называется совокупность мгновенных значений температур во всех точках рассматриваемого объема. Общий вид температурного поля в декартовой системе координат:
в цилиндрических координатах:
- в сферических координатах:

.

Если

и

, то получаем двумерное уравнение:

Наиболее простым случаем является одномерное (линейное) стационарное температурное поле при условии: и

Температура является скалярной величиной, таким образом, температурное поле – есть скалярное поле.
Непрерывное поле – такое поле, в котором бесконечно малому приращению координат соответствует бесконечно малое приращение температуры, т.е. производные будут конечны.
Разрывное поле - поле, в котором бесконечно малому приращению координат соответствует конечное приращение температуры.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Градиент поля – вектор, определенный в каждой точке поля, имеющий направление нормали к поверхности уровня в сторону возрастания величины и численно равный частной производной по нормали
Градиент поля обозначается – grad U или

(набла, оператор Гамильтона).

- единичный вектор, перпендикулярный к поверхности уровня

- орты декартовой системы координат (ортогональные единичные векторы, ориентированные в пространстве).

Модуль градиента:

Правила вычисления градиента:

(C=const)

Дивергенция вектора V:

В цилиндрических координатах:

(C=const)

Правила вычисления дивергенции (U- скаляр, V-вектор):

Оператор Лапласа обозначается –

или

В цилиндрических координатах:

Теорема Гаусса-Остроградского (переход от двойного интеграла к тройному):

Скалярный поток вектора V через замкнутую поверхность s равен интегралу от divV, распространенному по объему v, заключенному внутри поверхности s.

Всегда найдется такая вторая точка, в которой температура будет равна начальной t1 = t2, далее будет третья точка - t1 = t2 = t3 и т.д. В конечном итоге можно получить некоторую замкнутую кривую, в которой t = const.
Совокупность точек пространства, имеющих одинаковую температуру, образуют изотермическую поверхность. Изотермические поверхности в пространстве не пересекаются, поскольку одна и та же точка не может иметь в данный момент разные температуры.
Изменение температуры наблюдается только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Максимальное изменение температуры имеет место в направлении нормали к изотермическим поверхностям.
Градиент температуры - вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры:

К/м, (град/м)

Изотермические поверхности Градиент температуры

Нетрудно видеть, что во всех направлениях, отличных от нормали, grad t будет меньше. Например, проекция вектора grad t на ось координат х:

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК

В любом теле при отсутствии полного теплового равновесия возникает тепловой поток. Для математического описания вводится вектор теплового потока в соответствии с гипотезой Фурье: количество теплоты, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту:

ПЛОТНОСТЬ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА:

, Дж

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м∙К.

Вт/м2

Коэффициент теплопроводности
Коэффициент теплопроводности λ - физическая характеристика данного вещества, которая показывает интенсивность переноса теплоты через данное вещество, т.е. представляет собой плотность теплового потока при grad t=1К/м.
Коэффициент теплопроводности зависит от следующих факторов:
Физических свойств вещества. Максимальное значение имеют металлы (электрические проводники) - λ>35Вт/(м⋅К); минимальное – газы, например, воздух: λ ≈ 0,03Вт/(м⋅К)
2. Плотности данного материала, которая зависит от его пористости, т.е. наличия воздушных включений (приведенное ниже уравнение справедливо только для одного и того же материала):

Вт/(м⋅К)


Объясняется это тем, что в сухом состоянии поры вещества заполнены воздухом, имеющим минимальный коэффициент теплопроводности.

~

а

Анализируя уравнение


– частных производных;
– II-го порядка;
– линейное, т.е. температура входит в 1-ой степени;
– параболического типа.

можно сделать следующие выводы, что это уравнение:

3. При и – уравнение Лапласа:

W=0

Время запаздывания называется временем релаксации. Связь между скоростью распространения теплоты и временем релаксации можно выразить следующим соотношением:

~

где τP – время релаксации, т.е. равновесия между плотностью теплового потока (q) и gradt.

а уравнение Фурье соответственно примет вид уравнения гиперболического типа:

Условия однозначности – условия, которые однозначно определяют конкретный тип задачи, включают в себя:
1). Геометрические условия, характеризующие форму и размер тела;
2). Физические условия, характеризующие свойства среды и тела;
3). Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в начальный момент времени;
4). Граничные условия, которые необходимо задать по всей поверхности тела.
Граничные условия принято подразделять на ряд типов:
1). Граничные условия I-го рода – такие граничные условия, при которых в любой момент времени задается распределение температуры на поверхности тела:

Частный случай –

.

Частный случай –

Такие условия теплообмена могут создаваться при нагревании тел высокотемпературными источниками теплоты, когда теплообмен происходит главным образом по закону Стефана-Больцмана, если при этом собственная температура тела существенно меньше температуры излучающей поверхности.

3). Граничные условия III -го рода – такие граничные условия, при которых в любой момент времени задается температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. В случае нагрева (охлаждения):

где α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2∙К);
Tокр ,Tс – температура окружающей среды и поверхности (стенки) тела.
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплового воздействия среды заданной Tокр на поверхность тела. В нестационарных процессах температура окружающей среды в общем случае изменяется во времени. Уравнение выражает закон Ньютона. Плотность потока, подводимая (отводимая) за счет теплопроводности к (от) поверхности тела, определяется по закону Фурье. Таким образом, на основании закона сохранения энергии с учетом получаем:

Из граничных условий III -го рода можно получить граничные условия I и II -го рода.

– граничные условия I -го рода,

- граничные условия II -го рода.

Задачи с граничными условиями IY рода ставятся, например, при расчетах многослойных теплоизоляционных покрытий.

выражает условие непрерывности температурного поля

закон сохранения энергии на поверхности двух соприкасающихся тел (условия идеального теплового контакта).

Все изотермические поверхности в толще ограждения – плоскости, параллельные друг другу и граничным поверхностям. Следовательно, температурное поле может рассматриваться как одномерное. Такие условия относятся к граничным условиям I-го рода. При этих условиях температура внутри стенки будет изменяться только в направлении, перпендикулярном поверхности стенки, т.е. в направлении оси Ох. Начало отсчета координат расположим на поверхности 1 (внутренней) как показано на рис.

и

Однородная плоская стенка

Из уравнения следует, что:

Интегрируя уравнение, получаем:

или

при x=0

при x=δ

Тогда при первом граничном условии:

Из второго следует соответственно

и с учетом выражения для

Отсюда находим:

или

Подставляя полученные выражения, находим закон распределения температуры в плоской стенке:

и обратно пропорционально толщине стенки δ.

называется температурным напором.

называется тепловой проводимостью стенки, Вт/(м2 К)

называется термическим сопротивлением стенки, (м2 К)/Вт.

то можно перейти к безразмерной избыточной температуре:

Используя безразмерную координату

уравнение

можно представить следующим образом:

Многослойная плоская стенка

Температура на границе слоев определяется следующим образом:

Допустим, что имеется плоская стенка с толщиной δ. Считаем, что известны температуры окружающей среды

Коэффициент теплопроводности стенки λ. Предполагаем стационарный режим. Считаем также заданными коэффициенты теплоотдачи α1 и α2.

Такие условия называется граничными условиями третьего рода. Это позволяет рассматривать одномерную задачу: изменение температуры стенки и среды будет происходить только по нормали к стенке. Искомыми величинами будут: температуры на поверхности стенки и тепловой поток от горячей к холодной жидкости.
Исходя из закона Ньютона, плотность теплового потока от жидкости к стенке определяется уравнением:

Плотность теплового потока через стенку:

После преобразований:

Сложив почленно левые и правые части этих уравнений, получим следующее уравнение:

или

Для многослойной стенки с разными величинами толщины δi и коэффициента теплопроводности λi термическое сопротивление определяется:

где F – площадь поверхности стенки, м2.
Для исследования интенсификации процесса теплопередачи в теплообменниках проанализируем уравнение. Допустим заданы значения

Учитывая, что для металлических конструкций отношение

мало, коэффициент теплопередачи можно записать в виде:

т.е. заданы граничные условия первого рода. Примем постоянной величину коэффициента теплопроводности материала стенки λ. Необходимо определить распределение температур в этой стенке и тепловой поток.

Теплопроводность цилиндрической стенки

Т.к. труба симметрична, то и поле температур будет коаксиально-симметричным:

Тогда уравнение запишем в виде:

Решая данное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получим:

Плотность теплового потока на внутренней поверхности имеет вид:

Соответственно для наружной поверхности

называется линейной плотностью теплового потока

Рассмотрим граничные условия третьего рода. Пусть заданы температуры окружающей среды

Коэффициент теплопроводности стенки λ. Предполагаем стационарный режим. Считаем также заданными коэффициенты теплоотдачи α1 и α2. Считаем, что длина трубы значительно превышает толщину стенки. Тогда потерями теплоты на концах трубы можно пренебречь.

Плотность теплового потока через стенку:

Или:

Суммируя уравнения, получим температурный напор:

Тогда:

Многослойная цилиндрическая стенка (труба с тепловой изоляцией)

Запишем уравнение для трубы с изоляцией:

два первых члена постоянны

Величина третьего члена

увеличивается при увеличении

а четвертый

–

Уменьшается при увеличении

и критический внешний диаметр трубы с изоляцией

соответствующий минимальному сопротивлению теплопередачи, определяется из выражения:

Критическая толщина тепловой изоляции трубы
 

значение второй производной функции

по

будет минимальным. Таким образом, для эффективной работы изоляции должно быть выполнено условие:

постоянным коэффициентом теплопроводности

и с заданными температурами поверхностей

(граничные условия первого рода).

Поскольку в данном случае температура изменяется только в направлении радиуса шара, то уравнение теплопроводности запишем в сферических координатах с учетом осевой симметрии

:

Граничные условия:

или

Интегрируя, получаем:

или

или

Обозначим

тогда

или

Отсюда

или

Интегрируя второй раз, имеем:

или

или

или

Используя закон Фурье, определим количество теплоты, проходящее через шаровую поверхность

в единицу времени:

и

известны температуры окружающей среды

коэффициенты

Причем все вышеуказанные величины являются постоянными. Поскольку процесс стационарный, то тепловой поток определим следующим образом, переходя от радиусов к соответствующим диаметрам:

При использовании метода оребрения необходимо иметь в виду следующее правило:

оребрять поверхность со стороны

до достижения равенства

Дальнейшее увеличение малоэффективно.

Ребра в поперечном сечении могут иметь разный профиль. Это может быть прямоугольник, треугольник, круг и т.д.
Рассмотрим задачу о теплопроводности в ребре постоянного поперечного сечения

Пусть

– площадь поперечного сечения ребра,

- его периметр. Ребро (стержень) находится в среде с

коэффициент теплоотдачи от поверхности к среде

.

– текущая температура стержня. Если известна температура основания стержня

то

На расстоянии

от основания выделим элемент стержня

Уравнение теплового баланса для выделенного элемент:

.

Перенос теплоты через стержень

тогда

Приравнивая, получаем

или

постоянные, тогда и

Найдем решение уравнения в виде:

искомая постоянная.

и

рассмотрим ребро бесконечной длины.

В начальном сечении ребра при

При

Подставляя граничные условия в уравнение , имеем:

Это возможно только при

отсюда

и окончательно получаем:

Ребра , имеющие профиль с меньшими

более эффективны.

Определим количество теплоты, отданное стержнем в окружающую среду, которое равно количеству теплоты, проходящему через основание ребра:

Поскольку

получаем:

Для ребра конечной длины дифференциальное уравнение и его решение имеют вид

, но иными будут граничные условия:
при

при

или

- температура и коэффициент теплоотдачи с торца ребра.

при

при

совместно эти уравнения относительно

и

, получаем:

Подставляя эти выражения в , получаем:

Если

на конце ребра малая величина, а коэффициент

достаточно большой, то можно пренебречь теплоотдачей с конца ребра, чем практически всегда пользуются в инженерной практике. Тогда уравнение примет вид:

То

Подставляя значение

, получаем:

Если длина ребра велика, то

, а

, тогда:

и

Рассмотрим тепловой поток через плоскую ребристую стенку безграничных размеров, причем стенка имеет оребрение со стороны меньшего коэффициента теплоотдачи (рис.). В данном случае тепловой поток будет не только через ребра, но и через стенку. Принимаем заданными значениями коэффициенты теплоотдачи на неоребренной поверхности

, гладкой части оребренной поверхности

и на поверхности ребер

, геометрические размеры ребер и температуры теплоносителей

и

Теплопередача через ребристую стенку

Подставив выражение для

В , умножив и разделив на

получим:

Число Био представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления к внешнему сопротивлению теплоотдачи:

- безразмерный комплекс, число Био.

Введем обозначение:

коэффициент эффективности ребра и изменяется от 0 до 1. Тогда

Тепловой поток с гладкой части оребренной поверхности

Oбщий тепловой поток:

или

– приведенный коэффициент теплоотдачи:

(

– толщина гладкой части оребренной стенки.
Решая их, получаем:

или

- коэффициент теплоотдачи для ребристой поверхности (Вт/К):

Теплопроводность при наличии внутренних источников теплоты

Рассмотрим процессы теплопроводности, когда кроме внешних источников теплоты имеются и внутренние, распределенные по объему. Для строительства одним из подобных процессов является процесс затвердения бетона, что приводит к увеличению внутренних напряжений и в дальнейшем к образованию продольных трещин.
При стационарном процессе в однородной стенке с постоянными значениями коэффициентов

, температуры окружающей среды

и равномерным распределением температуры в стенке (рис.) дифференциальное уравнение теплопроводности можно записать в виде:

- мощность внутренних источников теплоты.

Для круглой трубы с наружным оребрением:

нормально поверхности тела, т.е. задача одномерная.

, направленной

Поскольку граничные условия на обеих поверхностях одинаковые, то температурное поле симметрично относительно плоскости

В этом случае рассматриваем только одну половину стенки и запишем для нее граничные условия:

при

Интегрируя уравнение , получаем:

Зависимость

от

квадратичная, т.е. распределение температуры соответствует

параболическому закону. Если

, то

и полученное уравнение представляет температурное поле для граничных условий первого рода. Отсюда следует:

Температура в центре стенки

Плотность теплового потока изменяется только вдоль оси

, т.е.

При

а при

плотность теплового потока будет максимальная

Теплопроводность цилиндра при наличии внутренних источников теплоты

Примем равномерное распределение внутренних источников теплоты,

и

. При этом температура

будет везде одинаковой, т.е. задача также будет одномерной. Запишем уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах:

Граничные условия:


при

Произведем замену переменной

и проинтегрируем уравнение (1)

(1)

или

или

Тогда:

Из граничных условий:

Окончательно уравнение температурного поля любой точки сплошного цилиндрического тела примет вид:

При

и соответственно

условиям первого рода. При этом на внешней поверхности цилиндра имеет место максимальная плотность теплового потока

.

получаем решение, отвечающее граничным

Внутри стенки цилиндра имеются равномерно распределенные источники теплоты мощностью

(рис.)

а) б) в)
К расчету теплопроводности цилиндрической стенки при наличии внутренних источников теплоты

Возможны три случая:
1. Теплота отводится только через наружную поверхность трубы (рис.а);
2. Теплота отводится только через внутреннюю поверхность трубы (рис.б);
3. Теплота отводится только через наружную и внутреннюю поверхность трубы (рис.в).

Для первого случая считаем, что заданы граничные условия третьего рода, т.е.

и

со стороны наружной поверхности трубы.

Решение этого уравнения было записано ранее

Постоянные интегрирования:

При

Тогда из уравнения

При

или

Температура на наружной поверхности трубы

Температурный перепад в стенке определяется по формуле:

Общий температурный перепад в стенке получаем в виде:

и

Для решения этой задачи можно использовать результаты двух предыдущих случаев. перепады температур в наружном и внутреннем слоях:

получаем перепад температур между стенками:

. В случае, если

Если

и

неизвестны, а известны

,

,

и

, то для определения

требуется совместное решение уравнений:

где