Теория автоматического управления. Современная ТАУ. (Часть 2) презентация

Связь матрично-векторной и вход-выходной моделей объектов и систем

Понятия управляемости и наблюдаемости

Понятие базиса в пространстве состояний

Основные формы представления математических моделей

Наблюдатели состояний

Далее ?

Закономерности движения

Оценка устойчивости состояния автоматических систем

Оценка устойчивости замкнутых систем с использованием функции Ляпунова

Математическое описание и исследование дискретно-непрерывных систем управления.

Оглавление семестра

Математическое описание в пространстве состояний

Оглавление семестра

Построение МВ ММ по структурной схеме

Построение вход-выходных моделей по матрично-векторным

Техника вычисления передаточных матриц

Понятие стабилизируемости, детектируемости и идентифицируемости

Модальное управление одномерными объектами

Модальное управление многомерными объектами

Оглавление семестра

Преобразование, разделяющееся по наблюдению

Преобразование, разделяющееся по управлению

Возможности систем обратных связей для многовходовых объектов. Примеры построения многовходовых объектов

Оценка устойчивости по Ляпунову

Оценка устойчивости по переходной матрице

Оценка устойчивости по спектру линейной системной матрицы

Оглавление семестра

Построение функции Ляпунова на основе матрично-векторной модели.

Теорема Ляпунова для линейных систем

Оценка качества переходных процессов

Вычисление переходной матрицы состояния ДНСУ

Эквивалентные преобразования матрично-векторных моделей линейных ДНСУ

Оценка фундаментальных свойств ДНСУ

Математические модели процессов в ДНСУ

Оглавление семестра

Переменные состояния – это некоторые внутренние переменные объекта или системы, характеризующие ее динамические свойства.

Описание в пространстве состояний – это представление математической модели объекта или системы с использованием переменных состояния.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- матрицы

- вектора

- системная матрица (характеризует фундаментальные
свойства объекта или системы, n – размерность объекта)

- матрица управлений (m – количество управляющих входов)

- матрица возмущений (r – количество возмущающих входов)

матрица выходов (показывает взаимосвязь между
переменными состояния и выходами, p – количество выходов)

матрица взаимосвязей управлений с выходами

матрица взаимосвязей возмущений с выходами

Математическое описание в пространстве состояний

Оглавление семестра

Оглавление раздела

После применения обратного преобразования Лапласа

Связь матрично-векторной и вход-выходной моделей объектов и систем

Построение МВ ММ по вход-выходной модели

Оглавление семестра

Оглавление раздела

C =[1 0 … 0]

Оглавление семестра

Оглавление раздела

На выходах динамических звеньев первого порядка назначаются
переменные состояния

выходы звеньев нулевого порядка

не обозначаются (они входят в МВ ММ в качестве коэффициентов).

Формируются сигналы на входах динамических звеньев, согласно
полученной на первых этапах структуре, при этом участвуют
как назначенные переменные состояния, так и сумматоры и звенья
нулевого порядка.

Составляется система операторных алгебраических уравнений, после
применения обратного преобразования Лапласа она преобразуется
в систему дифференциальных уравнений в форме Коши, по которой
строится МВ ММ.

Построение МВ ММ по структурной схеме.

1)

2)

3)

4)

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Передаточные матрицы по выходам

Пример

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- след матрицы

проверочный шаг

Техника вычисления передаточных матриц

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление раздела

Понятия управляемости и наблюдаемости динамических систем.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Пренебрежением фактором управления или наблюдения объекта может привести к ошибочным результатам, в связи с этим рассматривается два важных понятия:

- наблюдаемость ;
- управляемость.

В результате возникают два важных вопроса:

2. Можно ли, наблюдая вектор выходов Y(t) в течение достаточно длительного промежутка времени определить начальное состояние объекта?

Понятие стабилизируемости, детектируемости и идентифицируемости

Объект называется детектируемым, если системная матрица его не наблюдаемой части имеет устойчивый спектр корней.

Объект называется идентифицируемым, если по измерениям переменных состояния на некотором интервале можно найти матрицу A.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Для перехода к новому базису существует некоторое преобразование, которое обозначается: .
Это преобразование должно удовлетворять следующим условиям: - p – квадратная матрица и невырожденная [ ].

Понятие базиса в пространстве состояний

Оглавление семестра

Оглавление раздела

2) Преобразование на основе свойств наблюдаемости
Для его построения необходимо, чтобы объект был полностью наблюдаемым.

(1)

(2)

Общие закономерности преобразования МВ ММ к произвольно выбранному базису

Необходимо, чтобы объект был полностью управляемым. После определения преобразования
обязательно необходимо сделать его проверку.

1) Преобразование на основе управляемости

Если преобразование из исходного базиса в новый не дает положительного результата, то преобразовать объект исходного базиса в заданный невозможно.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

В ОН форме управляемой матрица В имеет стандартную форму, а С может быть произвольной.
В ОН форме наблюдаемой матрица С должна быть стандартной, а В может быть произвольной.
Для перехода к ОН форме используют преобразования (1) и (2).

Основные формы представления МВ ММ и способы перехода к ним

Оглавление семестра

а)

Исходный базис должен быть в ОН – форме.

, где - матрица управляемости

б)

Оглавление семестра

где - собственные числа матрицы А

4) Обратная нормальная форма

3) Дополнительная нормальная форма

Оглавление семестра

Для перехода к диагональной форме записи необходимо сначала преобразовать к ОН форме.

6) Жорданово - каноническая форма

,где - клетки Жордана

7) Треугольная форма

Из данных 7 форм, наибольшее распространение получили три:
а) ОН
б) ТОН
в) КД

Оглавление семестра

Схема наблюдателя:

Наблюдатели (идентификаторы) состояния линейных динамических объектов и систем

Оглавление семестра

Оглавление раздела

, где М – допустимое значение отклонения наблюдения

Однако для динамических систем М какой-либо величины от действительного значения приводит к искажению оцениваемой динамики. Поэтому вводится понятие асимптотической ошибки наблюдения.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

( - вектор обратных связей наблюдателя, формирующий его динамические свойства).

Модель наблюдателя (Калмана):

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Из второго условия можно определить вектор обратных связей наблюдателя:

1)

Вывод: Основная нормальная форма записи является непригодной для формирования вектора обратных связей ДНС, т.к. невозможно определить все его ( ) коэффициенты.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Достоинство асимптотического ДНС Калмана состоит в его универсальности и в высокой эффективности наблюдаемых переменных состояния, т.е. независимо от причин отклонения действительных значений этих переменных, наблюдаемые переменные сводятся к ним со скоростью, определяемой выбранными значениями собственных чисел наблюдателя.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Необходимо применить преобразование:

- коэффициент характеристического полинома наблюдателя состояний.

Свойства ДНС выбираются аналогично ДНС Калмана, но размерность наблюдателя на единицу меньше размерности объекта.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

коэффициент γ определяет ее свойства, задавая их с учетом точности наблюдения можно сформировать ДНС.

- уравнение редуцированного наблюдателя Луенберга.

определяет точность работы наблюдателя, т.е. скорость схождения ошибки к нулю, определяется собственными числами матрицы (коэффициент γ), который выбирается по аналогии с ДНС Калмана.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- корни объекта

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- корни системы должны быть лучше, чем корни объекта

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Пример:

Построить систему модального управления для объекта вида:

Выберем корни будущей системы исходя из условия устойчивости системы.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Замечание 1

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Корни системы выбираются лучше, чем у объекта и они должны обеспечивать заданное качество. В данном случае необходимо, чтобы время регулирования было в 5 раз меньше.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Для построения такого наблюдателя в многомерном cлучае, необходимо преобразовать ММ объекта таким образом, чтобы она была представлена таким же количеством подсистем, сколько измеряемых выходов имеет объект, тогда возможно построение одномерных НЛ.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

(r - количество выходов)

R – линейно-независимых строк матрицы C

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Для обеспечения правильного разделения необходимо, чтобы объект был наблюдаемым (частично).

1) Выбираем в качестве элементов промежуточной матрицы Q, используемой для построения матрицы разделяющейся по наблюдению.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

4) С использованием обратной матрицы Q, строится матрица преобразования.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление раздела

Преобразование, разделяющееся по управлению.

Исходными данными также является система уравнений.

Пусть объект является управляемым и матрица В имеет размерность . Для построения преобразований, разделяющихся по управлению, можно использовать 2 алгоритма:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Выбирается m – столбцов матрицы В;

2) К выбранным столбцам последовательно присоединяются столбцы Ab1, Ab2, … и проверяется линейная независимость

каждого последующего от всех предыдущих. Если какой-либо очередной столбец линейно зависим, то дальше наращивание на базе этого столбца не происходит.

Первый алгоритм аналогичен алгоритму по наблюдению:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

На базе столбцов строится матрица преобразования, ее столбцы располагаются также, как располагались строки в преобразования, разделяющиеся по наблюдению.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

или до последнего линейно независимого столбца (до n линейно независимых).

1) Строится матрица управляемости (МУ) и из нее выбираются столбцы для преобразования в следующем порядке

последний линейно независимый столбец из набора

2) Если то выбираем из второго столбца

но иметь вид верхней, треугольной клеточной

матрицы, где количество клеток равно q.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Пример:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

или

Пример №1

- необходимо построить модальное управление объектом, разделенным на подсистемы в предыдущем примере.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- матрица

Для сохранения структуры матрицы Ас необходимо некоторые элементы матрицы Вк положить нулевыми, а остальные варьировать в зависимости от заданных требований.

Требования к новой системе:

Корень -1 заменить на -5 (p+5)

Остальные корни должны иметь максимум по модулю вещественные части при условии изменения только коэффициента а0

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

В качестве разделяющих преобразований можно использовать матрицу Вандермонда, которая приводит объект к диагональной форме записи.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Понятие возмущенных и невозмущенных движений.

Одно или несколько движений устанавливающихся в системе при отсутствии внешних воздействий называются невозмущенными.

Все остальные движения, являющиеся следствием любых воздействий на систему, называются возмущенными.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- это уравнение описывает состояние объекта.

х – состояние

v – вектор входных воздействий

t – время

F – нелинейная функция

- справедлива для стационарных систем

Ненулевые начальные условия движения исследования объекта называются возмущениями.

Возмущенные движения системы на некотором интервале времени в отсутствии влияния внешних воздействий называются свободными движениями объекта.

Аналогичное движение при наличии воздействий называется вынужденным.

Положение равновесия исследуемого объекта соответствует равенство нулю всех производных:

где

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

В этом случае переменные состояния принято называть фазовыми координатами, траектории – фазовыми. Часто для наглядности эти траектории отображают на плоскости. Изображение сечения фазовой траектории на плоскости называется портретом.

- нелинейная функция.

Динамическая система, описываемая уравнением (1), при условии U(t)=0 называется автономной системой.

Матрица Х(t), [n x n] называется фундаментальной для системы (2)

когда ее столбцы образованы линейно независимыми решениями этой системы

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- называется определителем Вронского.

Если матрица X(t) неособенная и удовлетворяет решению данной системы, то она является фундаментальной.

Если Х(t) есть фундаментальная матрица, то называется переходной матрицей.

На основании свойств фундаментальной матрицы дать свойства переходной матрице:

Переходная матрица представляет собой фундаментальную, построенную для единичных начальных условий

Определение переходной матрицы и ее свойств относятся к системам,
описываемыми ДУ с постоянными и переменными коэффициентами.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Если х0 - вектор произвольных не нулевых начальных условий,
то решение системы можно найти по следующей формуле:

В соответствии со свойствами переходной матрицы, это одно из решений матричного ДУ, обращающееся в единичную матрицу каждый раз, когда элементы t и t0 равны руг другу. В случае системы первого порядка переходная матрица вырождается в скалярную функцию.

Следовательно роль переходной матрицы играет решение равное (1).

Если в этой формуле α заменить на матрицу А, то получится некоторая функциональная матрица, которая и называется матричным экспоненциалом:

(4)

Переходной матрицей системы (1) является матричный экспоненциал, определенный равенством (4).

Оглавление семестра

Оглавление раздела

б) если А – скаляр и А=α, то

Оглавление семестра

Оглавление раздела

а) если системная матрица А – постоянная, то

в)

г)

д)

е)

то для получения ее решения можно воспользоваться переходной матрицей вида (4), которая позволяет найти это решение методом варьируемых постоянных интегрирования (метод Лагранжа).

Если Φ(t,t0) есть переходная матрица объекта, то единственное решение системы уравнений, при x(t0)=x0 задается формулой

Частным случаем для определения переходной матрицы является вариант, когда t0=0 :

(7)

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Пусть объект описывается неоднородным ДУ.

Применим к уравнению

Преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:

Пример:

откуда

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Подставляя в последнее выражение формулу (4), при t0 = 0 получим:

Пример 1:

Пусть системная матрица объекта имеет вид:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- собственные числа матрицы,

где

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оценка устойчивости объектов и систем по вход-выходным критериям является производной от более общей и фундаментальной оценки устойчивости для систем в пространстве состояний. Для произвольных систем (линейных, нелинейных, в полных и частных производных, стационарных и нестационарных) является очень сложной задачей, иногда не решаемой.

Понятие устойчивости является относительным, по своей природе любой объект является физически устойчивым (техническая устойчивость).

В то же время по управляемой входной переменной он может быть неустойчивым, при этом при рассмотрении объектов и измерений может рассматриваться как устойчивый, так и неустойчивый, потому говорят не об устойчивости объекта, а устойчивости движения.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление раздела

Для определения большинства понятий устойчивости обычно используют конечномерное евклидово пространство состояния

1) Множество начальных состояний

2) Множество конечных состояний

Gk в общем случае также задается в Rn и времени t. Его элементы обычно удовлетворяют уравнению движения объекта и системы.

Область G0 обычно имеет ту же размерность, что и пространство состояний (n), область Gk (

а) внутри G0 находится Gk

б) Gk вне этой области

(распространен в технических системах).

На рисунке 1 траектория движения – предельный цикл (автоколебаний), характерный для нелинейных систем с гладкими и разрывными функциями.
На рисунке 2 – это отрезок прямой (крайне редко).

Рисунок 1

Рисунок 2

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

В качестве множества Gk может выступать поверхность (цилиндр), любой размерности, на котором лежат траектории, которые соответствуют уравнению (*).

Множество Gk будем называть множеством невозмущенных состояния или движений, а множество G0 - областью притяжения при наличии устойчивости.

Множество невозмущенных состояний (движений) называется асимптотически устойчивым с областью притяжения G0, если всякие движения начавшиеся в G0 в силу уравнений или законов движения динамической системы, приходит сколь угодно малую окрестность Gk с течением времени.

- норма вектора состояний x

Определение. Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного числа

, как бы мало оно ни было, можно найти

для каждого

, где

- фиксированный начальный момент времени.

некоторое число

Устойчивость по Ляпунову называют малой или локальной устойчивостью.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

при

Определение. Движение и соответственно его равновесное положение, устойчивое по Ляпунову и отвечающее дополнительному относительно предыдущего определения свойству

называется асимптотически устойчивым.
Устойчивые линейные системы всегда являются асимптотически устойчивым .

1)

2)

Странный аттрактор

0

При исследовании

возможно три случая:

1) Переходная матрица является ограниченной: для каждого

если переходная матрица ограничена, то можно

показать, что

если

то будет выполняться

условие устойчивости по Ляпунову.

2) Переходная матрица – асимптотически затухающая функция времени

т.е. второй случай соответствует асимптотической устойчивости.

3) Неограниченная матрица, т.е. в ней есть хотя бы один элемент, который

т.е. движение того элемента

является расходящимся – неустойчивое движение.

неограничен на интервале времени

Оглавление семестра

Оглавление раздела

2) Неустойчивым, если условие следующее:

3) Является асимптотически устойчивым, если

Доказательством этих условий является решение однородных уравнений по формуле Коши:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Функция Ляпунова

- это непрерывная вещественная функция,

определенная в n-мерном пространстве

,имеющая определенный знак,

непрерывные частные производные в области

и равная нулю только в

начале координат. Другими словами,

- шаг радиуса R.

Для оценки устойчивости функции Ляпунова необходимо знать понятия знакоопределенности функции.

Функцию

назовем определенно положительной в области (*),

если всюду в этой области, кроме начала координат, имеет смысл неравенство

Если же выполняется неравенство

то функция

называется определенно отрицательной

(общее название - функция

знакоопределенная).

Оглавление семестра

Оглавление раздела

К примеру функция

определенно положительной ,

функция

будет знакопостоянной в пространстве

Функция

является определенно отрицательной в пространстве

Теорема 1: (об устойчивости)

Если для системы

(**)

существует в области R знакопостоянная

функция V(x,t), производная которой по времени, взятая в силу системы (**),

является знакопостоянной функцией знака, противоположного знаку функции

V(x,t), то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.

Теорема 2: (об асимптотической устойчивости)

Если для системы (**) существует знакоопределенная функция V(x,t), полная

производная которой по времени, найденная в силу системы (**), будет также

знакоопределенной, знака противоположного с V(x,t), то положение равновесия

будет асимптотически устойчивым.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Построение функции Ляпунова на основе матрично-векторной модели.

Наибольшее распространение получила квадратичная форма функции Ляпунова:

- положительно определенная симметричная матрица

Условие определенной положительности квадратичных форм задается

неравенствами Сильвестра, согласно которых, проверка знакоопределенности

функций Ляпунова делается очень легко.

Считается что

если собственные числа матрицы Q положительны.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

по времени от функции квадратичной формы определяется как производная

от сложной функции.

- уравнение Ляпунова (***),

где L – положительно определенная матрица.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

1)

т.е. она является симметричной

2)

наблюдается взаимно-однозначное

При построении функции Ляпунова рекомендуется задавать матрицу L в диагональной форме записи, по диагонали стоят собственные числа, определяется знак матрицы, а выше и ниже диагонали нули, определяющие симметричность матрицы.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Функция Ляпунова наряду с основной задачей получения достаточных условий

устойчивости могут использоваться также для оценки отдельных показателей

качества, т.е. качества собственных движений замкнутой системы.

- наименьшее и наибольшее собственные числа матрицы Q.

После дифференцирования, интегрирования и экспонирования получится

неравенство вида:

(*.1)

t – время;

- значение функции Ляпунова для определенных начальных условий.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- окрестность.

Если в выражении (*.1) вместо х подставить

можно получить оценку

переходного процесса.

(*.2)

Если требуется нижняя оценка времени затухания возмущенного движения,

то используют (*.1).

Выводы по использованию второго метода Ляпунова.

1) Является эффективным методом оценки устойчивости систем управления

без решения их математических моделей, даже в нелинейном случае,

а для линейных систем существуют регулярные алгоритмы построения

функции Ляпунова для системы линейного порядка.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

в частности позволяет определить пределы затухания переходных процессов.

Пример: (применение прямого метода Ляпунова)

т.к. система имеет второй порядок и является линейной, то можно использовать квадратичную форму записи функции Ляпунова.

Для обеспечения положения определенности функции Ляпунова необходимо взять

Оглавление семестра

Оглавление раздела

которые мы имеем:

(но дополнительным условием нужно, чтобы

- положительно)

(*.3) – условие обеспечения устойчивости для системы второго порядка.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Общие сведения о дискретно-непрерывных системах.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Одним из основных параметром дискретного сигнала является скважность:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

Ключ действует как идеальный квантователь

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

- системная матрица дискрено-непрерывного объекта.

Элементы этой матрицы являются зависимыми от периода дискретизации.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Для упрощения математической записи ДНСУ часто применяют прием нормирования по независимому аргументу.

(***)

Система записана для стационарного объекта. Если объект не стационарный, то матрицы входящие в систему становятся зависимыми от момента времени K.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Переходные уравнения состояния ДНС

Устойчивость ДНСУ будет определяться тем: затухающая, ограниченная или расходящаяся функция матрицы перехода.
Поскольку в последнем выражении системная матрица AT может быть представлена в любой эквивалентной форме, то ее можно привести к диагональной форме.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

При этом условии все элементы матрицы будут стремиться к 0, а сама матрица - к нулевой матрице. Если какой - то из корней = 1, то получится ограниченная матрица (астатическая система). При наличии хотя бы одного корня больше 1 соответствующий элемент матрицы при стремится к ∞, и вся матрица оказывается неограниченной.

Пример:

Непрерывная динамическая система имеет системную матрицу вида:

Необходимо определить системную матрицу ДНСУ.
Для решения задачи необходимо определить переходную матрицу непрерывной системы и осуществив дискретизацию получить дискретную матрицу .

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Объект квантованный с периодом является устойчивым в дискретной области, т.к. диагональные элементы системной матрицы меньше 1, а объект с - устойчивым в дискретной области, но на границе устойчивости, т.к. диагональные элементы стремятся к единице.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

,т.е. для вычисления переходной матрицы на N-ном шаге достаточно иметь степени матриц вплоть до N-ной.

продолжая эту процедуру можно получить матрицу любой степени.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

При этой форме записи, каждая переменная состояния в k+1 момент времени зависит только в k-ый момент времени и от управления.

1) Каноническая форма записи

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Оглавление семестра

Оглавление раздела

и оценивается ее ранг.

Оценка наблюдаемости:

далее оценивается ранг.

Областью устойчивости является окружность единичного радиуса.

Оценка устойчивости:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Понятие идеального квантователя:

Наиболее распространенным математическим методом описания дискретных функций является замена последовательности импульсов, чаще всего прямоугольных, полученных при квантовании решетчатой функции состоящей из идеальных импульсов. Если продолжительность замыкания ключа значительно меньше периода Т, то импульсы дискретной последовательности можно приближенно заменить идеальными импульсами идеальной площади:

Решетчатая функция физически нереализуема.

Введение идеального квантователя позволяет значительно упростить математический аппарат.
Пусть , тогда сигнал

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Отсюда следовательно выходные сигналы умножаются на идеальные импульсы.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

Очевидно, что подынтегральное выражение не равно 0 при , при этом остается постоянным.

Из выражя видно, что функция является периодической с частотой повторенияени

Теорема прерывания:
Если непрерывный сигнал имеет ограниченную полосу частот, его преобразование Фурье удовлетворяет условиям:

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

Таким образом, в спектре квантованного сигнала по сравнению со спектром непрерывного появляются дополнительные высокочастотные составляющие.
Операция восстановления исходного сигнала по изображению может быть выполнена без ошибки только при условии:

Предположим, что сигнал подвергается квантованию с малым периодом Т, после чего аппроксимируется последовательностью . Если величина Т достаточно мала, то преобразование Фурье распадается на “основной спектр” и совокупность повторяющихся с периодом “дополнительных спектров”.

- теорема о прерывании Котельникова.

В теории цифрового управления частота называется Шенноновской:

определяет полосу пропускания дискретной системы.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0

Анализ качества во временной области:

Замечание: сложность анализа качества ДНСУ состоит в том, что отсутствует информация о поведении системы между тактами квантования, в этих случаях используют модифицированное z – преобразование.
Связь показателей качества ДНСУ с корнями имеет более сложный вид, чем в непрерывном случае.

Оглавление семестра

Оглавление раздела

0

0