Лекция 41. Рентгеновская трубка. Эффект Комптона. Введение в квантовую механику презентация

тормозного рентгеновского спектра. Рентгеновская трубка: Электроны, испускаемые из подогреваемого катода – К ускоряются большим напряжением, приложен-
ным к аноду и ударяются
о него. Вследствие резко-
го торможения электро-
нов на аноде возникает
ЭМ излучение. Это излу-
чение соответствует клас-
сческой электродинамике.

В тоже время это ог-
раничение напрямую вытекает из кван-
товой природы излучения. если излу-
чение возникает за счёт энергии, теря-
емой электроном при торможении, то
энергия кванта hω не может превы-

сить энергию электрона: hν ≤ eU, отсюда λ≥Ch/(eU). (С- скорость света).
Т.о. Квантовые свойства света при излучении и поглощении не вызывали сомнений. Однако, в каком же виде существует и распространяется свет?.

сталкиваясь со свободными электронами.

Схема Комптона представлена на рис.  Рентгеновское излучение с длиной волны λ0, исходящее из рентгеновской трубки R, проходит через свинцовые диафрагмы и в виде узкого пучка направляется на рассеивающее вещество-мишень P (графит). Излучение, рассеянное под некоторым углом θ, анализируется с помощью спектрографа рентгеновских
лучей S, в котором роль
дифракционной решетки играет
кристалл K, закрепленный на по-
воротном столике.   

еще одна, имеющая большую длину волны, зависящую от угла рассеяния.
Если принять, что
излучение представля-
ет собой поток фотонов,
то эффект Комптона
есть результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества. У легких атомов электроны слабо связаны с ядрами атомов, поэтому их можно считать свободными. В процессе столкновения фотон передает электрону часть своей энергии и импульса в соответствии с законами сохранения.

 p0=hν0/c, с покоящимся электроном, энергия покоя которого равна Eе0=mC2. Фотон, столкнувшись с  

 

электрона. При отражении потока электронов от кристалла никеля на экране, где фиксировались отра-женные электроны, возникала дифракционная картина, аналогичная картине, даваемой рентгеновскими лучами. Следовательно, некая сопутствующая движению частицы волна не является пустой абст-ракцией. Оценим длину этой волны по формуле де-Бройля. Пусть масса частицы m=0.1 г, а скорость v=10 м/c. Тогда
λ=6.6*10-34Дж*с/(10-4Кг*10м/с)=6.6*10-29м. Это невообразимо малая длина, на много порядков меньшая размеров атомов. Следовательно для обычных макро частиц длина сопутствующей волны, практичес-ки, нулевая, и обнаружить волновые эффекты невозможно. Другое дело – микрочастицы. Например для электрона со скоростью 100 м/с λ=6.6*10-34Дж*с/(9.1-31Кг*100м/с)=6*10-6м .

(1928 г.)

отнесем те, для которых длина волны де-Бройля – наблюдаемая величина, макро частицы имеют очень малую длину волны, которая не может наблюдаться. И те и другие частицы движутся по общим законам. Но в опытах с макро частицами эти общие законы дают результат, близкий к законам классической механики. В опытах с микрочастицами результат будет существенно отличиться от законов классической механики.
Новая механика для микрочастиц получила два названия: иногда ее называют волновой, а иногда – квантовой механикой. Отличие ее от классической состоит в том, что она определяет не координаты движущейся частицы, а сопутствующую движению волну. Математическое выражение этой волны назвали волновой функцией и обозначается буквой ψ (пси).

описывают движение одной из микрочастиц – фотона. Свободный фотон движется вдоль оси Z со скоростью света – c , имеет энергию E импульс p=E/c. Ему соответствует плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в ту же сторону с частотой колебаний ω=Е/ħ и длиной волны λ=2πħ/p. (Здесь исполь-зована ħ=h/2π≈10-34Дж*с). Уравнение этой волны для светового вектора: E=Emcos(ωt-kz), где k=2π/λ=p/ħ – волновой вектор.
По аналогии, для любой свободно движущийся частицы с энергией E=mv2/2 и импульсом p=mv можем написать уравнение сопутствующей волны a=Amcos(ωt-kz), где ω=Е/ħ, k=p/ħ. Но если для света величина E– это световой вектор, то какой смысл величины «а» в уравнении волны свободной частицы?

нас интересовало не мгновенное значение светового вектора, а интенсивность света в некоторой точке, которая пропорциональна квадрату амплитуды (Sm)2. Точно также следует толковать и волну произвольной частицы, интересуясь только квадратом ее амплиту-ды – (Am)2 в некоторой точке пространства.
Интенсивность света определяется количеством фотонов, попада-ющих в данную область пространства в единицу времени. Следовательно, квадрат амплитуды волновой функции (Am)2 будет пропорционален количеству частиц, попадающих в данную область в единицу времени. Если же речь идет об одной движущейся частице, то (Am)2 представляет собой вероятность попадания частицы в данную область пространства. Таков физический смысл волновой функции.

нахождения частицы в любой точке оси Z одинакова (не зависит от координаты z).
Ограничим свободу частицы двумя стенками, перпендикулярными оси Z. Расстояние между стенками – l и они упруго отражают частицу. Классическая частица может иметь любую скорость. Она ударяется о стенку, отскакивает без потери скорости, ударяется о другую стенку и т.д.
С точки зрения квантовой механики ситуа-
ция иная. Движению частице вправо соот-
Ветствует волновая функция ψ1=Amcos(ωt-kz)
А движению влево – ψ2=Amcos(ωt+kz). Об-
щая волновая функция равна сумме ψ=ψ1+ψ2

по сути он прост. В квантовой ме-ханике, где положение частицы определяется квадратом амплиту-ды, а импульс – длиной волны волновой функции, это принцип вы-ражает факт, характерный для всех волн. Если волна имеет одну оп-ределенную длину волны, она бесконечна в пространстве (вспом-ним случай свободной частицы). Если же волна локализована в про-странстве интервалом координаты - Δz, т.е. только в этой области ее амплитуда не равна нулю а в остальных областях – ноль, то она представляет собой сумму многих волн с разными длинами волн. При этом ее импульс не имеет определенного значения и распределен в некотором интервале –Δp. Гейзенберг вычислил эти неопределенности: Δp Δz≈h (41.8)

волновая функция представ-ляет сумму двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Импульс первой волны р1=h/λ, импульс второй р2=-h/λ. Следовательно, неопределенность импульса Δp=2h/λ. Неопределенность координаты равна расстоянию между стенками – Δz=l. Произведение ΔpΔz= 2lh/λ. В основном состоянии длина волны λ=2l, следовательно ΔpΔz= h.
Пусть поток электронов проходит через узкую щель. Казалось бы это поток, пройдя щель, засветит на экране узкую
полоску, с шириной, равной ширине щели Δх.
Однако, вследствие принципа неопределенности
после прохождения щели импульс электронов в
направлении оси Х станет неопределенным: ΔхΔрх=h.

Х: Δvx=h/(mΔx). Время пролета электронов от щели до экрана равно t=L/vy. За это время электроны пройдут вдоль оси Х расстояние f= tΔvx=hL/(mvy Δx). Но mvy=ру=h/λ
А отношение f/L=α – угол, на который рассеется электронный поток после щели: α= λ/ Δx. Эта формула для ширины главного дифракци-онного максимума при дифракции на щели. Т.о. соотношение неопределенностей позволяет в упрощенной форме определить некоторые параметры дифракции микрочастиц.
А что можно сказать об обычных макрочастицах, действует ли для них соотношение неопределенностей. Конечно действует. Однако, огромная их масса и размеры пространства делает неопределен-ность импульса и скорости столь малыми, что обнаружить их невозможно.

уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Уравнение Ньютона в одномерном случае: am=F связывает ускорение частицы с ее массой и действующей на частицу силой. Уравнение Шредингера связывает волновую функцию частицы с действующей на нее силой. Однако сила,
действующая на частицу, задается через
ее потенциальную энергию.
Вернемся к рассмотрению частицы,
ограниченной в пространстве двумя
параллельными стенками. Стенки предста-
вим в виде потенциальных барьеров бес-
конечной высоты.

и граничными условиями. Это те условия, которым должна соответствовать частица на границах области решения.
Если частица находится в потенциальной яме, то вероятность найти ее вне ямы обращается в нуль; следовательно, здесь
граничное условие состоит в том, что вероятность найти частицу при значениях, больших | l/2 | обращается в нуль. Этому граничному условию удовлетворяют лишь определенные значения Е (будем обозначать их Еn) и соответствующие ψn. Значения Еn называются собственными значениями, а cответствующие волновые функции —ψn собственными функциями.
Рассмотрим простейшие примеры решения уравнения Шредингера.

микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай

Изменение потенциальной энергии по оси z описывается формулой:
U=0 при 0 U=∞ при z<0 или z>l
В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал очень грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме.

справедливый для всех ее задач и полностью чуждый для классичес-кой механики. Расстоя-ние между соседними уровнями энергии