Лекция 21 (4). Корпускулярно-волновой дуализм. Уравнение Шрёдингера презентация

План

К экспериментальному обоснованию квантовых свойств относятся:
существование коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра;
опыт Боте

Устройство рентгеновской трубки

Не привлекая гипотезу о квантах с энергией ,
Нельзя объяснить существование коротковолновой границы тормозного спектра

Этот опыт должен был дать ответ на вопрос, как же происходит электромагнитное излучение: как волна или как поток дискретных частиц – фотонов

Если бы вторичное излучение распространялось в виде сферических волн, оба счётчика должны срабатывать одновременно, и на ленте самописца отметки слева и справа совпадали бы
Опыт дал другие результаты: счётчики срабатывали случайным образом, неодновременно
Это значит, что при излучении возникали отдельные фотоны, попадавшие либо в один счётчик, либо в другой

Эти свойства с макроскопической точки зрения противоречат друг другу:
волна непрерывна, частица – дискретна;
волна – безгранична, частица – ограничена в пространстве

Установить связь между волновой и корпускулярной картинами можно с помощью статистического подхода

Электромагнитная волна:

Распределение фотонов носит статистический характер
Квадрат амплитуды волны определяет вероятность попадания фотона в данную точку

Частицы обладают
волновыми свойствами

Корпускулярно-волновой дуализм универсален

Существует симметрия: если свет (волна) обладает корпускулярными
свойствами, то почему бы частицам не проявлять свойства волновые?

Из энергии получаем частоту:

Из импульса получаем волновой вектор:

Для волны, бегущей вдоль оси OX (частицы, движущейся параллельно оси OX):

Опыты Дэвиссона и Джермера. Отражение электронов от кристалла никеля подчиняется формуле Брэггов-Вульфа

В опытах Дж.Томсона исследовалась дифракция электронов на тонкой металлической поликристаллической фольге

На фотопластинке появлялась дифракционная картина в виде концентрических колец

Волновые свойства электрона обнаружились и в других экспериментах. Более того, удалось наблюдать дифракцию нейтронов на кристаллах (1936 год), а также атомов (гелий) и молекул (водород). Есть эксперименты по дифракции больших молекул красителя фталоцианина на специально созданной дифракционной решётке

Волновые свойства присущи каждой частице: дифракционная картина наблюдается и в случае очень слабых пучков, когда частицы летят поодиночке. Со временем по мере выпуска всё новых и новых молекул на финальной пластине всё ярче и ярче проступает интерференционная картина. Благодаря дифракции случайно прибывающие на финиш массивные частицы проявляют свои волновые свойства

В опытах с микрочастицами на экране появляется интерференционная картина, характерная для световых волн в аналогичном опыте Юнга. Электроны интерферируют при прохождении через две щели

Проделаем тот же эксперимент с волнами: волна проходит через обе щели, она непрерывна
Для волн нет дискретности; есть интерференция

Электроны (и любые микрочастицы) дискретны, как пули, но испытывают интерференцию, как волны

Микрочастица в двухщелевом
интерферометре

Микрочастица в двухщелевом интерферометре

Если «подсматривать» за электронами , то никакой интерференции нет

Если « не подсматривать» (выключаем источники света), картинка интерференции появляется снова

Если будем фиксировать, через какую щель прошёл электрон
(включили лампочку), то не получим интерференции
Если знаем координату электрона (пролетел через данную щель),
то не знаем длину волны, не знаем импульс

Нельзя одновременно точно знать координату частицы
и её импульс

Нельзя сказать: длина волны в данной точке
Если точно знаем импульс частицы, то знаем длину волны де Бройля,
но совершенно не знаем, где находится наша частица:
гармоническая волна в пространстве бесконечна

Есть и другие пары сопряжённых динамических переменных:

1927 г.

Принцип неопределённостей Гейзенберга не связан
с несовершенством приборов или методов измерения;
является спецификой микрочастиц –
проявлением корпускулярно-волнового дуализма

Волновая функция,
её вероятностная интерпретация

В общем случае Ψ – функция координат и времени; значения функции – комплексные

Состояние микрообъекта в квантовой механике описывается волновой функцией (пси-функция):

Смысл функции:

Плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке равна квадрату модуля волновой функции:

Уравнение Шрёдингера –
основное уравнение квантовой механики

Уравнение не доказывается теоретически и не может быть выведено из других соотношений

Справедливость уравнения Шрёдингера доказывается тем, что следствия из него согласуются с опытом

Волновую функцию находят решением
уравнения Шрёдингера

Собственные функции, собственные значения

Решение уравнения Шрёдингера существует не для любых значений энергии Е
Значения энергии, при которых решение существует, называются собственными значениями
Соответствующие им волновые функции тоже называются собственными функциями

Если одному и тому же собственному значению энергии соответствует несколько волновых функций, тогда соответствующий уровень энергии называется вырожденным

Квантование энергии при решении уравнения Шрёдингера получается
естественно, без привлечения каких-либо дополнительных соображений

В отрицательном
направлении оси OX

Волновое число:

Это решение уравнения Шрёдингера

Относительное расстояние между уровнями уменьшается при увеличении квантового числа n :

Для больших квантовых чисел n
дискретность уровней энергии уже
не играет роли
Это – проявление принципа соответствия:
при больших квантовых числах (большая энергия) законы квантовой механики дают тот же результат, что и классическая механика;
энергию можно считать изменяющейся непрерывно

Расстояние между уровнями энергии при n=1:

2) для макротела размером 0.1 м:

В первом случае дискретность уровней энергии существенна;
во втором случае уровни так близки, что энергию можно считать изменяющейся непрерывно

– минимальное значение энергии

б) Квантовый гармонический осциллятор

Для больших квантовых чисел вблизи поворотных точек амплитуда волновой функции максимальна, то есть вероятность найти в них частицу максимальна, как и в классическом рассмотрении
Это – принцип соответствия

Решение дифф.уравнения:

Примеры:

Расстояния между уровнями
энергии неодинаковы:

Классическая частица отразится от барьера

Квантовая частица
с ненулевой вероятностью
проникнет сквозь барьер

Для барьера произвольной формы: