Гидрогазодинамика. Элементы теории гидродинамического пограничного слоя. (Тема 1. Лекции 3,4) презентация

по сравнению с размерами потока зона, в которой необходимо учитывать влияние сил внутреннего трения.
Рассмотрим стационарное движение неограниченного потока жидкости с однородным распределением скорости u0 вдоль полубесконечной плоской поверхности (неограниченна в направлении оси z и в положительном направлении оси x). За кромкой поверхности, то есть при x>0, скорость на поверхности равна нулю, следовательно, вблизи поверхности образуется область, в пределах которой скорость изменяется от 0 на стенке до u0 на ее верхней границе.

внутреннего трения. В невозмущенном потоке эта сила отсутствует. По мере удаления от кромки толщина погранслоя возрастает, поскольку тормозящее влияние стенки проникает все дальше в невозмущенный поток из-за поперечного переноса импульса.

нем, то есть уменьшается сила трения. Однако увеличение толщины погранслоя означает увеличение движущейся в нем массы жидкости и, следовательно, силы инерции. При xКР, определяемым ~ 105 , образуется турбулентный погранслой, в котором имеется турбулентная зона I и ламинарный подслой II.
Толщина турбулентного погранслоя нарастает по длине плоской поверхности быстрее, чем толщина ламинарного, так как интенсивность макроскопического переноса импульса в направлении y существенно превосходит интенсивность молекулярного переноса. Вблизи стенки, где абсолютные значения скорости малы, а поперечный градиент скорости велик, сила инерции оказывается малой по сравнению с силой внутреннего трения, а потому ламинарный режим сохраняет устойчивость.

плоской поверхности.
В погранслое вектор скорости имеет проекции как на ось х, так и на ось у (см. параллелепипед 1-1-2-2 на слайде 3: расход жидкости, поступающей в параллелепипед через его левую грань, где скорость изменяется от 0 до u0, больше, чем расход жидкости, выходящей из параллелепипеда через правую грань, где скорость изменяется от 0 до величины, меньшей u0; – поскольку жидкость несжимаема, должно быть ее перемещение вдоль оси у).
Действием внешних массовых сил из-за малого объема погранслоя будем пренебрегать.

малой величины погранслоя, то есть из-за того, что δ<Основным направлением движения является x, тогда порядок продольной компоненты скорости o(u)=1.
Для оценки порядка величины поперечной компоненты скорости используем уравнение неразрывности. Учтем, что порядок n-ой производной равен отношению порядка функции к порядку аргумента в степени n.
, а так как оба слагаемых в левой части уравнения неразрывности должны иметь одинаковый порядок, чтобы в сумме давать 0, тогда , но o(y)=δ, поэтому o(v)=δ.

что в погранслое силы инерции и внутреннего трения должны быть величинами одного порядка. Левая часть уравнения Навье-Стокса, представляющая собой массовую плотность силы инерции, имеет порядок 1. А второе слагаемое в правой части – массовая плотность силы трения – также должно иметь этот порядок. Но выражение в скобках имеет порядок 1/δ2, следовательно, o(ν)=δ2.
Определив порядок величин в уравнениях Навье-Стокса, можно сделать два вывода:
1) в первом уравнении пренебрежимо малой величиной является ;
2) во втором уравнении все оцениваемые величины имеют порядок, не превышающий δ, тогда (считаем, что o(ρ)=1).

следующую систему уравнений, называемых уравнениями пограничного слоя или уравнениями Прандтля:

Людвиг Прандтль (1875–1953) – немецкий ученый в области механики. В 1904 году он опубликовал фундаментальную работу – «Течение жидкости с малой вязкостью», в которой впервые описал теорию пограничного слоя и его влияние на лобовое сопротивление и срыв потока, дав объяснение явлению сваливания.

давления в погранслое вдоль оси x такое же, как и в невозмущенном потоке. Оно может быть найдено из уравнения Эйлера, для рассматриваемого случая имеющего вид:

.

Но , тогда .

Следовательно, давление в погранслое всюду постоянно.

при стационарном ламинарном движении несжимаемой жидкости:

Граничные условия для полученных уравнений имеют вид:
при y=0 u=0, v=0;

при у=δ u=u0, .

в виде прямоугольного параллелепипеда, размер которого в направлении оси z примем равным 1. Нижняя грань параллелепипеда совпадает с плоскостью поверхности, а верхняя отстоит от поверхности на расстояние L, превышающее толщину погранслоя в данном сечении:

§ 7. Уравнение потока импульса для пограничного слоя

сумму потоков количества движения через все его грани. Будем считать поступающие вместе с втекающей в параллелепипед жидкостью потоки импульса – положительными, а уходящие – отрицательными.
Через единицу поверхности 1-2 в единицу времени проходит масса ρ⋅u, кг/(м2⋅с), а через элемент поверхности dy⋅1 – масса ρ⋅u⋅dy, кг/c. Умножив эту массу на u, получим поток импульса через элемент поверхности ρ⋅u2⋅dy, кг⋅м/с2.
Поток количества движения через всю поверхность 1-2

.

3-4 с учетом того, что жидкость через эту грань вытекает, будет равен

.

В связи с тем, что в сечении 3-4 толщина погранслоя больше, чем в сечении 1-2, массовый расход, поступающий в параллелепипед через грань 1-2 (М1-2, кг/c), превышает поток массы, вытекающий через грань 3-4 (М3-4). Таким образом, через грань 2-3 жидкость покидает параллелепипед, и поток импульса через эту грань – отрицателен:
I2-3 = –M2-3 ⋅ u0 .

единицу времени, должно быть равно количеству жидкости, выходящему из него:

Следовательно, с учетом постоянства u0 ,

.

В соответствии с законом сохранения импульса имеем:

I1-2 + I2-3 + I3-4 = dFТР = τW ⋅ dx .

dx, получим выражение, которое непосредственно выражает закон сохранения импульса:

.

Учитывая, что ρ=const и что в пределах δ≤y≤L интеграл в левой части равенства обращается в нуль, так как в этих пределах u=u0, получим:

– уравнение Кармана.

Это уравнение справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного погранслоя, поскольку закон сохранения импульса является общим законом механики.

.

Теодор фон Карман (1881–1963) – американский инженер и физик венгерского происхождения, специалист в области воздухоплавания. Работал в Германии и США. Основные труды Кармана связаны с аэродинамическими проблемами авиации и космонавтики.

профиль скорости в погранслое полиномом третьей степени:
u(y) = a + b ⋅ y + c ⋅ y2 + d ⋅ y3 ,
где коэффициенты a, b, c и d должно определить из граничных условий для распределения скорости:

1) при y = 0 u = 0 (условие прилипания) ⇒ a = 0;

2) при y = 0 – следствие 1-го уравнения

Прандтля для ламинарного погранслоя, так как на поверхности пластины u = 0 и v = 0 (пластина непроницаема) ⇒ с = 0;

y = δ – условие гладкости профиля скорости.

Третье и четвертое условия дают систему из 2 уравнений с 2 неизвестными, решая которую, найдем:

; .

Подставляя эти результаты в выражение для профиля скорости, получим:

.

его левой части и дифференцирование в правой:

.



.



Получили дифференциальное уравнение для определения толщины погранслоя:

.

,

откуда, интегрируя, находим:

.

При x = 0 δ = 0 ⇒ c = 0. Тогда .

В безразмерной форме:

,

где Rex – число Рейнольдса, в котором роль характерного размера играет расстояние от кромки поверхности.

находится из уравнения для профиля скорости u(x,y) (слайд 19). После этого находится поперечная составляющая скорости из уравнения неразрывности (второе уравнение в системе Прандтля – слайд 11).
Подставим в формулу Ньютона для касательного напряжения трения выражение для поперечного распределения скорости:

.

Подставляя сюда формулу для δ, найдем

.

1782) – представитель известной династии ученых, швейцарский математик и механик, получивший аналитическое решение уравнений Эйлера для стационарного движения несжимаемой жидкости. В результате многолетних исследований в 1738 г. издал фундаментальный труд «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости».

Жидкость движется в поле силы тяжести, ускорение которой направлено по оси z в отрицательную сторону:

Уравнение Эйлера в проекции на ось n (обозначим проекцию вектора скорости на это направление u и учтем, что в связи со стационарностью движения и малостью поперечного сечения трубки тока скорость и давление зависят только от n):

,
где .

.

Проинтегрируем по n и обозначим ρ⋅g=γ (удельный вес):

,

то есть сумма объемных плотностей кинетической энергии, потенциальной энергии давления и положения (динамического, статического и геометрического давления) не изменяется.
Для потока реальной жидкости в трубе или канале уравнение Бернулли имеет вид:

.

учитывающий то обстоятельство, что динамическое давление, найденное по величине средней скорости, не равно среднему динамическому давлению в поперечном сечении трубы (канала), определяемому очевидным образом:

.

Гаспар-Гюстав де Кориолис (1792–1843) – французский математик, инженер и механик. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещенный на первом этаже Эйфелевой башни.

pПОТ – потери давления, обусловленные переходом части механической энергии в теплоту.

и на местные сопротивления

Потери давления на трение представляют собой работу силы трения, отнесенную к единице объема жидкости, и пропорциональны динамическому давлению, рассчитанному по средней скорости:

,

где ξТР – коэффициент сопротивления трения;
λ – гидравлический коэффициент трения;
L – длина исследуемого участка трубы;

– гидравлический диаметр трубы

(S – площадь поперечного сечения, P – периметр).

.

При турбулентном течении в гидравлически гладкой трубе в соответствии с эмпирической формулой Блазиуса
.

При течении в гидравлически шероховатой трубе λ рассчитывается по формуле Никурадзе:

,

где r0 – радиус трубы,
Δ – высота выступов шероховатости.

и направления скорости, то есть действием сил инерции, во-вторых, вызванным силами давления разворотом части потока и образованием зон вихревого движения жидкости. Работа этих сил, отнесенная к единице объема жидкости, представляет собой потери на местные сопротивления, которые аналогично потерям на трение, рассчитываются как доля динамического давления
,

где ξМС – коэффициент местного сопротивления.
Этот коэффициент определяется экспериментально. Лишь для случая внезапного расширения его можно приближенно найти теоретически.

и равно . Силой трения на стенке трубы пренебрегаем. Тогда

,

так как сила давления, действующая на правое сечение контрольного объема, положительна, поскольку она уменьшает поток импульса.

.

для несжимаемой жидкости в интегральной форме

.


.

Для идеальной жидкости в соответствии с уравнением Бернулли


.

,

то есть потеря давления при внезапном расширении равна динамическому давлению потерянной скорости, что составляет содержание так называемой теоремы Борда.

Жан Шарль де Борда (1733–1799) – французский математик, физик, геодезист, политолог и моряк. Его изыскания, напечатанные в «Мемуарах» Парижской академии в 1763 г., 1767 и 1770 гг., привели к заключению, что сопротивление течению жидкостей пропорционально приблизительно квадратам скоростей. Борда занимался также истечением жидкостей из сосудов через малые отверстия, работами над установлением десятичной системы мер и весов.

,

то есть

,

если расчет ведется по динамическому давлению в узком сечении.

Если же расчет ведется по динамическому давлению в широком сечении, то

.