Геометрические характеристики плоских сечений презентация

Осевые моменты инерции сечения относительно осей z и y

Центробежный моменты инерции сечения относительно осей z и y

Полярный моменты инерции сечения относительно начала координат

Так как все моменты сечений по сути являются интегралами по площади, то на них распространяются свойства этого вида интегралов. В частности если сечение состоит из нескольких частей, что общий момент (любого вида) всего сечения будет равен сумме моментов отдельных его частей.

Зависимость между осевыми и полярными моментами инерции можно получить, если подставить в выражение Jp равенство

тогда

Полярный момент инерции сечения относительно точки равен сумме его моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

Следствие. Сумма осевых моментов инерции сечения относительно любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через данную точку, есть величина постоянная:

Если положение центра тяжести сечения известно, то

Статический момент сечения относительно оси равняется его площади, умноженной на расстояние от центра тяжести сечения до этой оси.

Если ось y проходит через центр тяжести сечения, то

Статический момент сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести (относительно центральной оси), равен нулю

Составные сечения

Статические моменты составного сечения с одной стороны по свойству статического момента равны

С другой стороны они равны сумме статических моментов отдельных частей, то есть:

Откуда с учетом свойств статических моментов отдельных частей:

В данных формулах общая площадь А представлена как сумма площадей отдельных частей.

Откуда

Момент инерции сечения относительно оси равен его моменту инерции относительно центральной оси, параллельной ей, сложенному с произведением квадрата расстояния между осями на площадь сечении.

Аналогично

в которых угол α отсчитывается от оси z в направлении против часовой стрелки.
По определению

По аналогии

Главные оси обозначаются цифрами 1 и 2

Моменты инерции относительно главных осей называются главными

Главные моменты инерции обозначают J1 и J2 , причем J1> J2.

Чтобы найти положения главных осей в данной точке О, выбирают в этой точке оси z и у для которых Jz,Jy, Jzy определяются проще всего.
Центробежный момент в главных осях (1;2) связан с центробежным моментом в осях (y;z) зависимостью

Нас интересуют первые два решения, т.е. n1=0, n2=1 получаем:

Из выражений для α1 и α2 заключаем, что главные оси взаимно перпендикулярны.

После определения α1 и α2 величины главных моментов инерции сечений J1 и J2 находятся по формуле

Находим значения α1, и α2, определяющие соответственно положения первой и второй главных осей, для чего решаем полученное уравнение

откуда

где n – любое целое число

Откуда

Значения α из формул совпадают со значениями α для главных моментов. Следовательно, моменты инерции относительно главных осей достигают экстремальных значений, т. е. главный момент инерции J1, есть наибольший из всех моментов инерции относительно осей, проходящих через данную точку, а J2 - наименьший.

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называют главными радиусами инерции.

y

z

-z

z

y

dA

dA

Пусть ось у будет осью симметрии сечения, а ось z ей перпендикулярна. В силу симметрии каждой площадке с положительным произведением координат справа будет соответствовать площадка с таким же, но отрицательным произведением координат слева и поэтому

ВЫВОД: Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, есть главные оси сечения.

или

откуда

Для произвольной оси u, проходящей через центр

ВЫВОД: Моменты инерции правильных фигур относительно центральных осей равны и любые взаимно перпендикулярные центральные оси будут главными

или