Физические задачи,приводящие к дифференциальным уравнениям презентация

Содержание

Основные определения Дифференциальным называется уравнение, содержащее аргумент, функцию этого аргумента, производные этой функции. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок

Слайд 1Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Слайд 2Основные определения
Дифференциальным называется уравнение, содержащее
аргумент,

функцию этого аргумента,
производные этой функции.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение

Примеры дифференциальных уравнений

Слайд 3Примеры дифференциальных уравнений

дифференциальное уравнение 1 порядка

дифференциальное уравнение 1 порядка

дифференциальное уравнение 2

порядка

Слайд 4Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задача о движении материальной точки под действием

силы тяжести
Задача о радиоактивном распаде
Задачи об истечении жидкости из сосуда

Слайд 5Движение материальной точки под действием силы тяжести ( основная задача)


Материальная точка массой m свободно падает под действием силы тяжести. Найти закон движения точки
(без учёта сопротивления воздуха).



Условие.


решение

Многовариантная задача

Слайд 6Решение задачи о движении материальной точки
Возьмём вертикальную ось

с началом отсчёта на поверхности Земли и направим ее вверх.

Положение материальной точки М определяется ее координатой S, которая зависит от времени t.

Пусть в начальный момент времени точка находится на высоте S0.


О


S0

S

M

Слайд 7Решение задачи о движении материальной точки

На точку действует сила,

которая по второму закону Ньютона равна
F=ma (*)
где m - масса точки, a – ускорение

Ускорение является второй производной от функции движения. Формула (*) примет вид:
F=m S//(t)


О

M

Слайд 8Решение задачи о движении материальной точки
F=m S//(t)

По условию задачи

на материальную точку действует только сила тяжести
F=P=-mg,
где g=9,81(м/с2)-ускорение силы тяжести.

Знак «-» показывает, что сила тяжести направлена против направления выбранной оси.


О

M

Слайд 9Решение задачи о движении материальной точки

Сравним полученные формулы.
F=m S//(t)

и F=P=-mg

Искомое дифференциальное уравнение имеет вид:
m S//(t) = -mg,
или
S//(t) = -g.



Решение дифференциального уравнения

Слайд 10Решение дифференциального уравнения





(5)
(4)
(3)
(2)
(1)

Слайд 11Нахождение постоянных интегрирования
В начальный момент (t=0)

скорость точки равна vo,



расстояние от начала отсчета
до данной точки равно s0.

Слайд 12Материальная точка массой m свободно падает под действием силы тяжести. Найти

закон движения точки (без учёта сопротивления воздуха).

Ответ.


Многовариантная задача


Слайд 13Многовариантная задача
Материальная точка находится на высоте …… (число в

метрах) над уровнем земли, ее начальная скорость равна ……. (м/с) и направлена …. (вверх, вниз).
Определить
на какой высоте будет находиться материальная точка через … секунд;
через сколько секунд после начала движения точка достигнет наибольшей высоты и какова эта высота;
через сколько секунд после начала движения точка коснется земли?


Дополнительные
сведения для учителя


Слайд 14Комментарии для учителя
В приложении 1 к данной работе предложена

расчетная таблица, которая по произвольно выбранным параметрам предлагает ответ.

Таблица выполнена в программе Microsoft Office Excel 2003



Слайд 15Радиоактивный распад
Радиоактивным распадом называются самопроизвольные превращения ядер атомов

некоторых элементов в ядра других элементов, сопровождающиеся альфа-, бета- и гамма-излучением.

Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение всего времени существования данного изотопа.

Слайд 16Радиоактивный распад
Установлено, что количество атомов, распадающихся в единицу времени,

составляет определённую, постоянную для каждого изотопа часть количества его нераспавшихся атомов.

Эта часть называется постоянной распада
и обозначается буквой λ.

Слайд 17Радиоактивный распад
Время Т, в течение которого распадается половина

количества атомов изотопа, называется периодом полураспада этого изотопа.

Периоды полураспада для различных изотопов различны.

Например, для радия Т=1590 лет,
для урана Т=4,6 млрд. лет,
для радиоактивного кобальта Т=5,3 года,
для радона Т=3,82 суток.

Слайд 18Радиоактивный распад
Между периодом полураспада Т и постоянной распада λ

имеется связь:


Слайд 19Радиоактивный распад (основная задача)
Установить для радиоактивных изотопов зависимость количества

нераспавшихся атомов от времени распада


Решение задачи

Условие.



Многовариантная задача

Слайд 20Решение задачи о радиоактивном распаде
Условие того, что количество атомов N,

распадающихся в единицу времени, составляет определённую, постоянную для каждого изотопа часть количества его нераспавшихся атомов,
выражается формулой

dN=- λNdt,
где λ- постоянная распада

Знак «-» показывает, что число N нераспавшихся атомов с течением времени уменьшается.

Слайд 21Решение дифференциального уравнения dN=- λNdt
Разделяем переменные:


Интегрируем:

Получаем решение
дифференциального

уравнения:

или


Слайд 22Нахождение константы интегрирования


из начальных условий (N=N0 при t=0)


получим

Слайд 23Радиоактивный распад (основная задача)
Установить для радиоактивных изотопов зависимость количества нераспавшихся атомов от

времени распада t и от количества нераспавшихся атомов N0 в начальный момент/

Ответ.


Многовариантная задача


Слайд 24Многовариантная задача
Определить какая часть атомов ….. (указать радиоактивный изотоп)

распадется за ……. (количество) лет


Комментарии для учителя

Слайд 25Комментарии для учителя


В приложении 2 к данной

работе предложена расчетная таблица, которая по произвольно выбранным параметрам предлагает ответ.

Таблица выполнена в программе Microsoft Office Excel 2003


Слайд 26Задача №1 об истечении жидкости
Резервуар, наполненный водой, имеет форму

цилиндра с высотой Н и площадью основания S.
В дне резервуара сделано отверстие площади s, через которое за 1 час вылилось m/p всей воды.
Через какое временя вся вода вытечет из резервуара?
Решение


Слайд 27Решение задачи №1 об истечении жидкости

За время dt

уровень жидкости понизится на dh. Следовательно, объем dV вытекшей жидкости будет равен
dV= - S · dh ,
где S - площадь основания цилиндра. (знак «-» в правой части соответствует уменьшению объема).

Слайд 28Решение задачи №1 об истечении жидкости
С другой стороны, этот

объем жидкости dV из цилиндрического резервуара вытечет через трубку, площадь сечения которой равна S,
=> dV=s·l,

где l - высота столба жидкости в трубке.

dV= - F · dh

Слайд 29Решение задачи №1 об истечении жидкости
Высота столба жидкости

l в трубке соответствует пути, который капля жидкости прошла со скоростью v за время dt

=> l=v·dt

и


dV= - S · dh

dV=s·l

Слайд 30Решение задачи №1 об истечении жидкости
На основе полученных формул
(1)

dV= - S · dh
(2) dV=s·l
(3) l=v·dt
(4)
составим дифференциальное уравнение





Решение дифференциального уравнения

назад

Слайд 31Решение дифференциального уравнения
Разделяем переменные:


Интегрируем:

Из начальных условий (t=0 и h=H) получаем:

Таким образом

решение принимает вид



Слайд 32 В условии говорится, что за 1 час уровень воды

стал равным m/p от первоначального.
Рассмотрим функцию при условии t=1 и h=m/p∙H, получим:


Данное уравнение примет вид:



или


Слайд 33 Теперь мы можем ответить на основной вопрос задачи:

через сколько времени вода вытечет из резервуара.

h=0 при


Слайд 34Задача №2 на истечение жидкостей
За какое время вода

вытечет из полусферической чаши диаметром D через круглое отверстие радиусом r, вырезанное на дне чаши?

Решение задачи №2

Слайд 35Решение задачи №2
Площадь сечения S сферической чаши равна

Площадь отверстия радиуса

r равна

Слайд 36Решение задачи №2(начало)
- зависимость площади поверхности от высоты столба жидкости в

чаше

Слайд 37Решение задачи №2(продолжение)
С другой стороны, этот объем жидкости dV вытекает из

отверстия радиусом r
=>

где l - высота столба жидкости, вытекшей из отверстия.

За время dt уровень жидкости понизится на dh. Следовательно, объем dV вытекшей жидкости будет равен
dV= - S · dh , где

Слайд 38Решение задачи № 2(продолжение)
Высота столба жидкости l в

трубке соответствует пути, который капля жидкости прошла
со скоростью v за время dt
=> l=v·dt

и

Таким образом,

Слайд 39Решение задачи № 2(продолжение)
Сравним полученные выражения





и составим дифференциальное уравнение


Решение дифференциального

уравнения


Слайд 40Решение дифференциального уравнения
Разделяем переменные:

Интегрируем:

Из начальных условий (t=0 и h=R) получаем:

Таким образом

решение принимает вид



Слайд 41Решение задачи №2 (окончание)
Теперь мы можем ответить на основной вопрос задачи:

через сколько времени вода вытечет из резервуара.

h=0 при




или


Слайд 42Работу выполнили:
Ученики 11 «а» класса
ГОУ СОШ

№420 г.Москвы

Галкин Николай
Киселев Дмитрий

2007 год

Похожие презентации

Природа и эволюция звезд 254
Энергия колебательного движения 312
Ультразвуковые технологии 785
Техническое обслуживание и ремонт систем энергообеспечения и запуска двигателя 402
Кинематика. Решение задач 1101
Закон Снеллиуса (отражения) для монотипных волн 369

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика