Динамика твердого тела презентация

В случае поступательного движения достаточно описать движение одной точки твердого тела – центра масс или центра инерции.
Это точка равновесия, в ней помещают опору. В однородном поле силы тяжести это точка приложения веса тела, обозначим ее С.

Обозначим радиус – вектор центра масс , массу тела m , силу, действующую на тело и приложенную к центру масс .

Тогда 2-- й закон Ньютона можно записать только для одной точки – центра масс тела:

Для системы материальных точек радиус – вектор центра масс системы

Вызывать вращение вокруг оси может только составляющая силы , перпендикулярная оси и направленная по касательной к траектории т. С -- .

Будем рассматривать только силы, направленные по касательной к траектории движения, а индекс уберем, т.е. обозначим .

Запишем для т. С 2-й закон Ньютона (под понимается только


) и умножим его слева векторно на :

Т.к. 1-е слагаемое в (1) равно нулю, то выражение (*) запишется так:

(1)

Рассмотрим производную по времени от векторного произведения:

(*)

Обозначим ,

Тогда (*) выглядит так:

(2)

Момент вектора относительно оси OZ назовем . Он является проекцией на эту ось момента вектора относительно точки:

-- это 2-й закон Ньютона для вращательного движения материальной точки С или уравнение моментов вращательного движения материальной точки.

(2)

Пусть существует поле вектора .

Выделим некоторое направление OZ.

Вектор плоскости, образованной векторами и .
Спроецируем на ось OZ :

┴

Направление вектора момента силы

определяется по правилу правого винта; вектор

направлен перпендикулярно плоскости, в

которой лежат векторы

и

, и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от

к кратчайшим путем.

В силу условности выбора направления вектора

момент силы является псевдовектором. Его модуль M=rF.

Например,

называется моментом силы точки С относительно оси вращения OZ: .

ускоренном:

замедленном:

Моменты сил и моменты импульсов обладают свойством аддитивности, т.е. их можно складывать. Например, для системы, состоящей из N материальных точек
момент импульса системы:


момент силы , действующий на систему:

(**)

Модуль момента импульса точки, вращающейся по окружности, относительно центра окружности:

Пусть твердое тело вращается вокруг некоторой оси, закрепленной неподвижно относительно выбранной системы отсчета.
В этом случае все точки твердого тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на оси ОZ. Т.т. можно рассматривать как систему частиц (или м.т.) с неизменными расстояниями между ними.
Пусть тело состоит из n частиц; запишем для i – й частицы уравнение моментов (2) :

Сложим почленно все уравнения моментов, записанные для всех м.т. системы (т.е. для всего тела) :

. (3)

Момент импульса тела относительно точки:

Результирующий момент внешних сил, действующих на тело:

(4)

Запись (4) упрощается:

(5)

Это основное уравнение вращательного движения твердого тела в общем виде:

скорость изменения момента импульса тела относительно начала координат равна моменту внешних сил, действующих на тело.

момент импульса м.т. относительно оси будет иметь вид:

Подставляя последнее выражение в (6), получим:

(7)

-- момент инерции тела относительно данной оси вращения.

Момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Тогда (7) можно записать так:

(8)

В общем случае направления векторов и не совпадают. Положение упрощается для однородных тел, симметричных относительно оси вращения.

совпадает с направлением .
Для симметричных тел (8) можно записать так:

В силу симметрии также для тел, симметричных относительно оси вращения, момент внешних сил относительно точки , коллинеарен этой оси.

(9)

или:

Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси вращения на угловое ускорение тела.

В скалярном виде:

По аналогии с записью 2 –го закона Ньютона в поступательном движении( , где -- мера инертности тела ) можно заключить, что:

момент инерции тела относительно данной оси – мера его инертности при вращении относительно этой оси.

Если система изолирована или моменты внешних сил скомпенсированы,
то
,

следовательно .

Или:

Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то момент импульса системы остается постоянным.

Последнее утверждение называется законом сохранения момента импульса системы.

- суммарный момент инерции системы скамья-человек-гири.

Человек поймал мяч, летевший перпендикулярно оси вращения:

Если считать, что в объеме твердого тела вещество распределено непрерывно, для вычисления момента инерции

тела необходимо от суммирования :

перейти к интегрированию.

Выразив элементарную массу dm :

,

определение момента инерции запишем в виде

где суммирование по всем материальным точкам заменено интегрированием по объему твердого тела.

,

Приведем примеры вычисления моментов инерции относительно оси, проходящей через центр масс, для некоторых однородных тел правильной геометрической формы.
Пример 1. Момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной , имеющего сечение S произвольной формы, относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Т.к.

Разобьем диск на концентрические слои радиуса x и бесконечно малой толщины dx. Масса такого слоя dm легко вычисляется:

подставим эти выражения в интеграл

и проведем интегрирование:

.

Учитывая, что получим

.

- момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню:

,

- момент инерции сплошного цилиндра (диска) относительно оси симметрии:

-тонкостенного цилиндра относительно его геометрической оси:

;

- момент инерции сплошного шара относительно любой оси, проходящей через его центр:

Пример 2. Момент инерции сплошного диска (цилиндра) относительно оси,
совпадающей с его образующей:

Все материальные точки

твердого тела вращаются с одинаковыми угловыми скоростями

Линейная скорость каждой материальной точки твердого тела равна

.
Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела примет вид:

Или:

(1)

Продифференцируем выражение для кинетической энергии вращающегося тела (1):

.

Учтя теперь, что

, а

- элементарный угол поворота тела вокруг оси Z, придем к выражению для механической работы:

При повороте тела на конечный угол ϕ вокруг неподвижной оси для вычисления работы необходимо проинтегрировать последнее выражение:

.

(2)

Справедливо также (см.(2)):

Таблица аналогий поступательного и вращательного движений т.т.