Стационарные ВР. Модели ARMA презентация

, называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого m ( m < n) совместное распределение вероятностей случайных величин X t1, , X tm такое же, как и для X t1+τ, , X tm+ τ, при любых t1,…, tm и τ , таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+τ, … , tm+τ ≤ n.

Степень тесноты статистической связи между случайными величинами Xt и Xt+τ может быть измерена парным коэффициентом корреляции

, у которого

смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядка или ковариационно стационарным).

Ряд xt , t = 1, …, n, называется гауссовским, если совместное распределение
случайных величин X1, ... , Xn является n-мерным нормальным распределением.

Пусть xt – стационарный ряд с E(Xt) ≡ μ, D(Xt) ≡ σ 2 и ρ(τ) = Corr(Xt , Xt+τ).

Коэффициент ρ(τ) измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией).
О ковариациях γ(τ) = Cov(Xt , Xt +τ) говорят как об автоковариациях.

говорить об автокорреляционной функции ρ(τ).

Автокорреляционная функция безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от −1 до +1; при этом ρ(0) = 1.

Кроме того, из стационарности ряда xt следует, что ρ(τ) = ρ(−τ), так что при анализе поведения автокорреляционных функций обычно ограничиваются
рассмотрением только неотрицательных значений τ .

Процесс белого шума

Процессом белого шума (“белым шумом”, “чисто случайным временным
рядом”) называют стационарный временной ряд xt , для которого

n взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение N(0, σ 2),образуя случайную выборку из этого распределения, т.е. Xt ~ i.i.d. N(0, σ 2). Такой ряд называют гауссовским белым шумом.

и дисперсию σε2, X0 – некоторая случайная величина, а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.

При этом

так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) =0 для всех t = 0, 1, …, n.

εn, то отсюда следует, что

Предполагая

Последнее может выполняться только при выполнении условия a2 < 1, т.е.
|a| < 1.
При этом получаем выражение для σX2

ожидание. Однако ее можно легко распространить и на временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием E(Yt) = μ , полагая, что указанная модель относится к центрированному ряду Xt = Yt –μ :

порядка.

Процесс авторегрессии порядка p (AR(p)) определяется соотношениями

Полагая, что Cov(Xt–s, εt) = 0 для всех s > 0; при этом говорят, что случайные
величины εt образуют инновационную (обновляющую) последовательность, а
случайная величина εt называется инновацией для наблюдения в момент t .

Оператор запаздывания L (lag operator),

Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как Lk , то это дает в результате

Выражение

можно записать теперь в виде

лежать вне единичного круга |z| > 1.

В частности, для процесса AR(1) имеем a(z) = 1– a z , уравнение a(z) = 0 имеет корень z = 1/a , и условие стационарности |z| > 1 равносильно условию a <1.

При этом решение уравнения a(L) Xt = εt можно представить в виде

= δ + εt , то
следует помнить о том, что в этом случае математическое ожидание этого процесса равно не δ, а

Для процесса AR(1) имеем a(L) = 1– aL

При 0 < a < 1 коррелограмма (график функции ρ(k) для k = 0, 1, 2, … ) отражает показательное убывание корреляций с возрастанием интервала между наблюдениями; при –1 < a < 0 коррелограмма имеет характер затухающей косинусоиды.